Ogled vira Virialni izrek

'''Viriálni izrèk''' v [[mehanika|mehaniki]] predpisuje splošno enačbo, ki povezuje [[čas]]ovno [[povprečje]] skupne [[kinetična energija|kinetične energije]] <math>\left\langle T \right\rangle</math> stabilnega [[fizikalni sistem|sistema]] z ''N'' delci, omejenimi s potencialnimi [[sila]]mi, s skupno [[potencialna energija|potencialno energijo]] <math>\left\langle V_{\text{S}} \right\rangle</math>, kjer lomljeni oklepaji predstavljajo časovno povprečje dane [[fizikalna količina|količine]]. Matematično [[izrek]] pravi:

: <math> \left\langle T \right\rangle = -\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle \!\, , </math>

kjer je '''F'''<sub>''k''</sub> sila na ''k''-ti delec z [[krajevni vektor|vektorjem]] [[lega|lege]] '''r'''<sub>''k''</sub>. Beseda virialen za desno stran enačbe izhaja iz besede vis, [[latinščina|latinske]] besede za ''silo'' ali ''energijo''. Njeno tehniško definicijo je podal [[Rudolf Julius Emmanuel Clausius|Rudolf Clausius]] leta [[1870 v znanosti|1870]].<ref>{{sktxt|Clausius|1870}}.</ref>

Pomen virialnega izreka je v tem, da omogoča izračun povprečne skupne kinetične energije tudi za zelo zapletene sisteme, ki kljubujejo eksaktni rešitvi, na primer za sisteme v [[statistična mehanika|statistični mehaniki]]. Ta povprečna skupna kinetična energija je povezane s [[temperatura|temperaturo]] sistema z [[ekviparticijski izrek|ekviparticijskim izrekom]]. Vendar virialni izrek ni odvisen od pojma temperature in velja tudi za sisteme, ki niso v [[toplotno ravnovesje|toplotnem ravnovesju]]. Virialni izrek so posplošili na različne načine, najbolj pa je znana [[tenzor]]ska oblika.

Če sila dveh poljubnih delcev izvira iz potencialne energije ''V''(''r'') = ''αr<sup>&nbsp;n</sup>'', ki je sorazmerna z neko potenco ''n'' srednje razdalje med delcema ''r'', ima virialni izrek preprostejšo obliko:

: <math> 2 \langle T \rangle = n \langle V_{\text{S}} \rangle \!\, . </math>

Dvakratna povprečna skupna kinetična energija <math>\left\langle T \right\rangle</math> je tako enaka ''n''-kratniku povprečne skupne potencialne energije <math>\left\langle V_{\text{S}} \right\rangle</math>. ''V''(''r'') predstavlja potencialno energijo med dvema delcema, ''V''<sub>S</sub> pa predstavlja skupno potencialno energijo sistema, to je vsoto potencialne energije ''V''(''r'') čez vse pare delcev v sistemu. Splošni zgled za takšen sistem je [[zvezda]], ki jo v ravnovesju ohranja njena [[gravitacija]], pri čemer je ''n'' enak &minus;1.

Čeprav je virialni izrek odvisen od povprečenja skupne kinetične in potencialne energije, tukajšnja predstavitev zanemarja povprečenje do zadnjega koraka.

== Zgodovina ==

Clausius je leta 1870 Zvezi za naravoslovje in medicinske znanosti Spodnjega Rena po dvajsetletnem raziskovanju v [[termodinamika|termodinamiki]] podal predavanje ''O mehanskem izreku uporabnem za toploto'' (''Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz''). V predavanju je navedel, da je srednja [[živa sila]] sistema enaka njegovemu [[virial]]u, oziroma, da je povprečna kinetična energija enaka 1/2 povprečne potencialne energije. Virialni izrek se lahko izpelje neposredno iz [[Lagrangeeva enakost|Lagrangeeve enakosti]], kakor se uporablja v klasični gravitacijski dinamiki, izvirni obliki, vključeni v [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrangeev]] ''Esej o problemu treh teles'', objavljenem leta 1772. [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobijeva]] posplošitev enakosti na ''n''&nbsp;teles in sedanjo obliko je zelo podobna klasičnemu virialnemu izreku. Vendar so bile interpretacije, ki so vodile do razvoja enačb, zelo različne, saj statistična dinamika tedaj še ni poenotila ločene raziskave termodinamike in klasične dinemike.<ref>{{sktxt|Collins|1978}}.</ref> Izrek so kasneje rabili, popularizirali, posplošili in naprej razvili [[James Clerk Maxwell]], [[John William Strutt Rayleigh|lord Rayleigh]], [[Henri Poincaré]], [[Subrahmanyan Chandrasekhar]], [[Enrico Fermi]], [[Paul Ledoux]] in [[Eugene Newman Parker]]. [[Fritz Zwicky]] je prvi uporabil virialni izrek pri izvajanju obstoja nevidne [[snov]]i, sedaj imenovane [[temna energija]]. Virialni izrek poleg mnogih drugih uporab nastopa tudi pri izpeljavi [[Chandrasekharjeva meja|Chandrasekharjeve meje]] za stabilnost [[bela pritlikavka|belih pritlikavk]].

== Definicija in izpeljava ==

Za ''N'' [[točkasto telo|točkastih]] [[točkasti delec|delcev]] je [[skalar]]ni [[vztrajnostni moment]] ''J'' okrog [[koordinatno izhodišče|koordinatnega izhodišča]] enak:

: <math> J = \sum_{k=1}^{N} m_{k} |\mathbf{r}_{k}|^{2} = \sum_{k=1}^{N} m_{k} r_{k}^{2} \!\, , </math>

kjer sta ''m''<sub>''k''</sub> in '''r'''<sub>''k''</sub> masa in lega ''k''-tega delca. ''r''<sub>''k''</sub>=|'''r'''<sub>''k''</sub>| je velikost krajevnega vektorja. Skalar ''G'' je določen kot:

: <math> G = \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \!\, , </math>

kjer je '''p'''<sub>''k''</sub> [[vektor (matematika)|vektor]] [[gibalna količina|gibalne količine]] ''k''-tega delca. Če se predpostavi, da je masa konstantna, je ''G'' enak polovici [[časovni odvod|časovnega odvoda]] tega vztrajnostnega momenta:

: <math> \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} t} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum_{k=1}^{N} m_{k} \, \mathbf{r}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} m_{k} \, \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}_{k}}{\mathrm{d} t} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = G \!\, . </math>

Po vrsti se lahko časovni odvod ''G'' zapiše kot:

: <math>\begin{align}
\frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t} & = \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}_{k}}{\mathrm{d} t} +
\sum_{k=1}^{N} \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}_{k}}{\mathrm{d} t} \cdot \mathbf{r}_{k} \\
& = \sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}_{k}}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}_{k}}{\mathrm{d} t} + \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \\
& = 2 T + \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \!\, , \end{align} </math>

kjer je ''m''<sub>''k''</sub> masa ''k''-tega delca, <math>\mathbf{F}_{k} = \frac{d\mathbf{p}_{k}}{dt}</math> zunanja sila na ta delec in ''T'' skupna kinetična energija sistema:

: <math> T = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} v_{k}^{2} = 
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}_{k}}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}_{k}}{\mathrm{d} t} \!\, . </math>

=== Povezava s potencialno energijo med delci ===

Skupna sila <math>\mathbf{F}_{k}</math> na ''k''-ti delec je vsota vseh sil od drugih delcev ''j'' v sistemu:

: <math> \mathbf{F}_{k} = \sum_{j=1}^{N} \mathbf{F}_{jk} \!\, , </math>

kjer je <math>\mathbf{F}_{jk}</math> sila, s katero deluje ''j''-ti delec na ''k''-ti delec. Tako se lahko virialni izrek zapiše kot:

: <math> -\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
-\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k} \!\, . </math>

Ker noben delec ne deluje nase (kar pomeni, da je <math>\mathbf{F}_{jk} = 0</math>, pri <math>j=k</math>), velja:

: <math>
\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k} + 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j>k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right) \!\, , </math><ref>[[Media:Virial in the form between paritcles.pdf|Dokaz te enačbe]]</ref>

pri čemer se privzame, da [[Newtonovi zakoni gibanja|tretji Newtonov zakon]] velja, oziroma, da velja  <math>\mathbf{F}_{jk} = -\mathbf{F}_{kj}</math> (enaka in nasprotna reakcija).

Velikokrat se zgodi, da se lahko sile izvedejo iz potencialne energije ''V'', ki je le funkcija razdalje ''r''<sub>''jk''</sub> med točkastima delcema ''j'' in ''k''. Ker je sila negativni [[gradient]] potencialne energije, je v tem primeru:

: <math> \mathbf{F}_{jk} = -\nabla_{\mathbf{r}_{k}} V = - \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r} \left( \frac{\mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j}}{r_{jk}} \right) \!\, , </math>

kar je očitno enako in nasprotno <math>\mathbf{F}_{kj} = -\nabla_{\mathbf{r}_{j}} V</math>, sila, s katero deluje <math>k</math>-ti delec na ''j''-ti delec, kot se potrdi z eksplicitnim računom. Zato je:

: <math>
\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right) =
-\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}  \frac{| \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} |^{2}}{r_{jk}} = 
-\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}  r_{jk} \!\, . </math>

S tem je:

: <math> \frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t} = 2 T + \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 2 T - 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}  r_{jk} \!\ . </math>

=== Posebni primer za sile potenčnega zakona ===

V splošnem posebnem primeru je potencialna energija ''V'' med dvema delcema sorazmerna s potenco ''n'' njune medsebojne razdalje ''r'':

: <math> V(r_{jk}) = \alpha r_{jk}^{n} \!\, , </math>

kje sta α in eksponent ''n'' konstanti. V takšnih primerih ima virialni izrek obliko:

: <math> -\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}  r_{jk} =
\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  n V(r_{jk}) = \frac{n}{2}\, V_{\text{S}} \!\, , </math>

kjer je ''V''<sub>S</sub> skupna potencialna energija sistema:

: <math> V_{\text{S}} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  V(r_{jk}) \!\, . </math>

Tako je:

: <math> \frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t} = 2 T + \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 2 T - n V_{\text{S}} \!\, . </math>

Za gravitacijske sisteme je eksponent ''n'' enak &minus;1, kar da Lagraneevo enakost:

: <math> \frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}^{2} J}{\mathrm{d} t^{2}} = 2 T + V_{\text{S}} \!\, . </math>

To je izpeljal Lagrange in razširil Jacobi.

=== Časovno povprečenje ===

Povprečje tega odvoda po času ''τ'' je določeno kot:

: <math> \left\langle \frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t} \right\rangle_{\tau} = \frac{1}\tau \int_{0}^{\tau} \frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d} t = \frac{1}{\tau} \int_{G(0)}^{G(\tau)} \, \mathrm{d} G = \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau} \!\, , </math>

od koder izhaja točna enačba:

: <math> \left\langle \frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t} \right\rangle_{\tau} = 
2 \left\langle T \right\rangle_{\tau} + \sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle_{\tau} \!\, . </math>

Virialni izrek pravi, da če je <math>\left\langle {\mathrm{d} G}/{\mathrm{d} t} \right\rangle_{\tau} = 0</math>, potem velja:

: <math> 2 \left\langle T \right\rangle_{\tau} = -\sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle_{\tau} \!\, . </math>

Obstaja več razlogov zakaj se lahko povprečje časovnega odvoda izniči, oziroma da je <math>\left\langle {\mathrm{d} G}/{\mathrm{d}t} \right\rangle_{\tau} = 0</math>. Eden od velikokrat navajanih razlogov se nanaša na ''stabilne omejene sisteme'', sisteme, ki se držijo skupaj za vedno in katerih parametri so končni. V tem primeru imajo hitrosti in koordinate delcev sistema zgornje in spodnje meje, tako da je ''G''<sup>M</sup> omejen med dvema ekstremoma ''G''<sub>min</sub> in ''G''<sub>max</sub>, povprečje pa gre proti nič v limiti zelo dolgih časov ''τ'':

: <math>
\lim_{\tau \rightarrow \infty} \left| \left\langle \frac{\mathrm{d} G^{\mathrm{M}}}{\mathrm{d} t} \right\rangle_{\tau} \right| = 
\lim_{\tau \rightarrow \infty} \left| \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau} \right| \le 
\lim_{\tau \rightarrow \infty} \frac{G_{\max} - G_{\min}}{\tau} = 0 \!\, . </math>

Četudi je povprečje časovnega odvoda ''G'' samo približno enako nič, virialni izrek velja do enake mere približka.

Za sile potenčnih zakonov z eksponentom ''n'' velja splošna enačba:

: <math> \langle T \rangle_{\tau} = -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \rangle_{\tau} = \frac{n}{2} \langle V_{\text{S}} \rangle_{\tau} \!\, . </math>
 
Za gravitacijo je ''n'' enak &minus;1, povprečna kinetična energija pa je enaka polovici povprečne negativne potencialne energije:

: <math> \langle T \rangle_{\tau} = -\frac{1}{2} \langle V_{\text{S}} \rangle_{\tau} \!\, . </math>

Ta splošni rezultat je uporaben za zapletene gravitacijske sisteme kot so na primer [[planetni sestav]]i ali [[galaksija|galaksije]].

Preprosta uporaba virialnega izreka pride v poštev pri [[jata galaksij|jatah galaksij]]. Če je v območju nenavadno veliko galaksij, se lahko privzame, da so skupaj že dolgo časa in virialni izrek se lahko uporabi. Meritve Dopplerjevega pojava dajo spodnje meje za njihove relativne hitrosti, virialni izrek pa da spodnjo mejo za skupno maso jate, vključno z morebitno temno snovjo.

Povprečenje ni nujno obravnavati časovno. Lahko se obravnava tudi [[povprečje ansambla]] z enakovrednimi rezultati.

== V kvantni mehaniki ==

Čeprav je bil virialni izrek izvirno izpeljan za [[klasična mehanika|klasično mehaniko]], velja tudi za kvantno mehaniko, kot je prvi pokazal [[Vladimir Aleksandrovič Fok|Fok]].<ref>{{sktxt|Fok|1930}}.</ref>

Če se izračuna [[komutator]] [[Hamiltonova funkcija|Hamiltonove funkcije]] <math>H=V(\{X_{i}\})+\sum_{n} P_{n}^{2}/2m</math> in produkt <math>X_{n} P_{n}</math> operatorja lege <math>X_{n}</math> in operatorja gibalne količine <math>P_{n}=-i\hbar \mathrm{d}/ \mathrm{d} X_{n}</math> <math>n</math>-tega delca:

: <math> [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} X_{n}}-i\hbar\frac{P_{n}^{2}}{m} \!\, , </math>

in sešteje vsoto za vse delce, je za <math>Q=\sum_{n} X_{n}P_{n}</math> komutator:

: <math> \frac{i}{\hbar}[H,Q]=2 T-\sum_{n} X_{n}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} X_{n}} \!\, </math>

s kinetično energijo <math>T=\sum_{n} P_{n}^{2}/2m</math>. Leva stran enačbe je enaka <math>-\mathrm{d} Q/\mathrm{d} t</math>, glede na [[Heisenbergova slika|Heisenbergovo enačbo]] gibanja. Vrednost verjetnosti <math>\langle \mathrm{d} Q/ \mathrm{d} t\rangle</math> tega časovnega odvoda se v stacionarnem stanju izniči in odtod izhaja kvantni virialni izrek:

: <math> 2\langle T\rangle=\sum_{n}\langle X_{n} \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} X_{n}}\rangle \!\, . </math>

== V posebni teoriji relativnosti ==

Za posamezen delec v [[posebna teorija relativnosti|posebni teoriji relativnosti]] ne velja <math>T = \frac 12 \mathbf{p} \cdot \mathbf{v}</math>. Namesto tega velja <math>T = (\gamma - 1) mc^{2}\,</math> in:

: <math> \begin{align}
\frac 12 \mathbf{p} \cdot \mathbf{v} &
= \frac 12 \vec{\beta} \gamma mc \cdot \vec{\beta} c
= \frac 12 \gamma \beta^{2} mc^{2}
= \left( \frac{\gamma \beta^{2}}{2(\gamma-1)}\right) T \!\, . \end{align}</math>

Zadnji izraz se lahko poenostavi v <math>\left(\frac{1 + \sqrt{1-\beta^{2}}}{2}\right) T</math> ali v  <math>\left(\frac{\gamma + 1}{2 \gamma}\right) T</math>.

Tako pod pogoji, opisanimi v predhodnih razdelkih (vključno s [[Newtonovi zakoni gibanja|tretjim Newtonovim zakonom gibanja]] <math>\mathbf{F}_{jk} = -\mathbf{F}_{kj}</math>, navkljub relativnosti), je časovno povprečje za <math>N</math> delcev s potencialom potenčnega zakona enako:

: <math> \frac n2 \langle V_{\mathrm{S}} \rangle_{\tau}
= \left\langle \sum_{k=1}^{N} \left(\frac{1 + \sqrt{1-\beta_{k}^{2}}}{2}\right) T_{k} \right\rangle_{\tau}
= \left\langle \sum_{k=1}^{N} \left(\frac{\gamma_{k} + 1}{2 \gamma_{k}}\right) T_{k} \right\rangle_{\tau} \!\, . </math>

Še posebej razmerje kinetične in potencialne energije ni več stalno, ampak nujno pade v interval:

: <math> \frac{2 \langle T_{\mathrm{S}} \rangle}{n \langle V_{\mathrm{S}} \rangle} \in \left[1, 2\right] \!\, , </math>

kjer bolj relativistični sistemi kažejo večja razmerja.

== Posplošitve ==

Lord Rayleigh je objavil posplošitev virialnega izreka leta 1903.<ref>{{sktxt|lord Rayleigh|1903}}.</ref> [[Henri Poincaré]] je uporabil obliko virialnega izreka leta 1911 pri problemu določanja kozmološke stabilnosti.<ref>{{sktxt|Poincaré|1911}}</ref> [[variacijski račun|Variacijsko]] obliko virialnega izreka je leta 1945 razvil Ledoux.<ref>{{sktxt|Ledoux|1945}}.</ref> Tenzorsko obliko virialnega izreka so razvili Parker,<ref>{{sktxt|Parker|1954}}.</ref> Chandrasekhar<ref>{{sktxt|Chandrasekhar|Lebovitz|1962}}.</ref> in Fermi.<ref>{{sktxt|Chandrasekhar|Fermi|1953}}.</ref> [[Harry Pollard (matematik)|Pollard]] je leta 1964 razvil naslednjo posplošitev virialnega izreka za primer [[obratni kvadratni zakon|obratnega kvadratnega zakona]]:<ref>{{sktxt|Pollard|1964}}.</ref><ref>{{sktxt|Pollard|1966}}.</ref> trditev <math>2\lim\limits_{\tau\rightarrow+\infty}\langle T\rangle_{\tau} = \lim\limits_{\tau\rightarrow+\infty}\langle U\rangle_{\tau}</math> je pravilna, če in samo če je <math>\lim\limits_{\tau\rightarrow+\infty}{\tau}^{-2}J(\tau)=0 \,</math>. Drugače je treba dodati mejni člen, kot v sklicu.<ref>{{sktxt|Kolár|O'Shea|1996}}.</ref>

== Vključitev elektromagnetnih polj ==

Virialni izrek se lahko na [[električno polje|električna]] in [[magnetno polje|magnetna polja]]. Rezultat je:<ref>{{sktxt|Schmidt|1979|pp=72}}.</ref>

: <math> \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^{2} J}{\mathrm{d} t^{2}}
+ \int_{V}x_{k}\frac{\partial G_{k}}{\partial t} \, \mathrm{d}^{3}r 
= 2(T+U) + W^{E} + W^{M} - \int x_{k}(p_{ik}+T_{ik}) \, \mathrm{d} S_{i} \!\, , </math>

kjer je ''J'' vztrajnostni moment, ''G'' [[Poyntingov vektor|momentna gostota elektromagnetnega polja]], ''T'' kinetična energija »tekočine«, ''U'' naključna »toplotna« energija delcev, ''W<sup>E</sup>'' in ''W<sup>M</sup>'' električna in magnetna energija v obravnavani prostornini. ''p<sub>ik</sub>'' je tenzor tekočinskega tlaka izražen v krajevnem gibajočem se koordinatnem sistemu:

: <math> p_{ik} = \Sigma n^{\sigma} m^{\sigma} \langle v_{i} v_{k}\rangle^{\sigma} - V_{i} V_{k}\Sigma m^{\sigma} n^{\sigma} \!\, , </math>

''T<sub>ik</sub>'' pa je elektromagnetni [[napetostni tenzor]]:

: <math> T_{ik} = \left( \frac{\varepsilon_{0}E^{2}}{2} + \frac{B^{2}}{2\mu_{0}} \right) \delta_{ik} - \left( \varepsilon_{0}E_{i}E_{k} + \frac{B_{i}B_{k}}{\mu_{0}} \right) \!\, . </math>

[[Plazmoid]] je končna povezana struktura magnetnih polj in [[plazma|plazme]]. Z virialnim izrekom se lahko vidi, da se bo vsaka takšna struktura širila, če jo ne bodo zadrževale zunanje sile. V končni razporeditvi brez sten na katere deluje tlak ali magnetnih [[tuljava|tuljav]] bo [[ploskovni integral]] enak nič. Ker so vsi členi na desni strani pozitivni, bo pozitiven tudi pospešek vztrajnostnega momenta. Preprosto je določiti tudi čas širjenja τ. Če je skupna masa ''M'' omejena znotraj polmera ''R'', je vztrajnostni moment približno enak ''MR''<sup>2</sup>, leva stran virialnega izreka pa je enaka ''MR''<sup>2</sup>/τ<sup>2</sup>. Vsota členov na desni je približno ''pR''<sup>3</sup>, kjer je ''p'' tlak plazme ali magnetni tlak, odvisno od tega kateri je večji. Če se člena izenačita in se razreši po τ, velja:

: <math> \tau\,\sim R/c_{s} \!\, , </math>

kjer je ''c<sub>s</sub>'' hitrost [[ionsko zvočno valovanje|ionskega zvočnega valovanja]] (ali [[Alfvénovi valovi|Alfvénovih valov]], če je magnetni tlak večji od plazemskega tlaku). Tako je stopnja življenjske dobe plazmoida enaka stopnji prehodnega časa zvočnih (ali Alfvénovih) valov.

== V astrofiziki ==

Virialni izrek se pogosto rabi v [[astrofizika|astrofiziki]], še posebej v povezavi gravitacijske potencialne energije sistema z njegovo kinetično ali [[toplotna energija|toplotno energijo]]. Nekatere virialne zveze so:

: <math> \frac{3}{5} \frac{\kappa m}{R} = \frac{3}{2} \frac{k_{\mathrm{B}} T}{m_{p}} = \frac{1}{2} v^{2} \!\, , </math>

za maso <math>m</math>, polmer <math>R</math>, hitrost <math>v</math> in temperaturo <math>T</math>. Konstante so: [[gravitacijska konstanta]] <math>\kappa\, </math>, [[Boltzmannova konstanta]] <math>k_{\mathrm{B}}\, </math> in [[masa protona]] <math>m_{p}</math>. Te zveze so le približne, velikokrat se tudi vodeče številske faktorje (npr. 3/5 ali 1/2) v celoti zanemari.

=== Galaksije in kozmologija (virialna masa in polmer) ===

V [[astronomija|astronomiji]] se masa galaksij (ali splošna pregostota) velikokrat definira s pojmom »virialnega polmera« ali »[[virialna masa|virialne mase]]«. Ker so lahko galaksije in pregostote v zveznih tekočinah zelo razširjene (celo do neskončnosti v nekaterih modelih, npr. [[profil singularne izotermalne sfere|izotermalna sfera]]), je težko določiti specifične, končne mere za njihovo maso in velikost. Virialni izrek in sorodni pojmi omogočajo velikokrat primerne načine za določitev teh značilnosti.

V galaktični dinamiki je masa galaksije velikokrat določena z merjenjem [[kotna hitrost|vrtilne hitrosti]] njenega plina in zvezd, pri čemer se predpostavijo [[krožni tir|krožne keplerske tirnice]]. S pomočjo virialnega izreka se lahko uporabi [[disperzija hitrosti|disperzijska hitrost]] <math>\sigma</math> na podoben način. Če se vzame kinetična energija (na delec) sistema kot <math>T = (1/2) v^{2} \sim (3/2) \sigma^{2} </math> in potencialna energija (na delec) kot ''U'' ~ (3/5)(''κm''/''R''), se lahko zapiše:

: <math> \frac{\kappa m}{R} \approx \sigma^{2} \!\, , </math>

kjer je <math>R</math> polmer na katerem se meri disperzija hitrosti, <math>m</math> pa je masa znotraj tega polmera. Virialna masa in polmer sta v splošnem določena za polmer pri katerem je disperzija hitrosti največja, oziroma:

: <math> \frac{\kappa m_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}} \approx \sigma_{\max}^{2} \!\, . </math>

Ker se je naredilo več približkov se poleg približne narave teh definicij velikokrat zanemarijo sorazmernostne konstante reda ali enote, kot v zgornjih enačbah. Te zveze so zato točne le v smislu [[red velikosti|reda velikosti]] ali, če se rabijo dosledno zase.

Alternativna definicija virialne mase in polmera se večkrat rabi v [[kozmologija|kozmologiji]] pri obravnavanju polmera sfere, ki zaobjema galaksijo ali jato galaksij, in znotraj katere velja virialno ravnovesje. Ker je polmer težko določiti z opazovanji, se velikokrat vzame približek polmera znotraj katerega je povprečna gostota večja za določen faktor od [[kritična gostota (kozmologija)|kritične gostote]] <math>\rho_{\text{krit}}=\frac{3H^{2}}{8\pi \kappa}</math>, kjer je <math>H</math> [[Hubblov zakon|Hubblov parameter]]. Običajna (čeprav večinoma poljubna) izbira za faktor je 200, za katerega je virialni polmer približno enak <math>r_{\text{vir}} \approx r_{200}= r(\rho = 200 \cdot \rho_{\text{krit}})</math>. Virialna masa je potem določena kot <math>m_{\text{vir}} \approx m_{200} = (4/3)\pi r_{200}^{3} \, 200 \rho_{\text{krit}} </math>.

== Glej tudi ==

* [[virialni koeficient]]
* [[virialna napetost]]
* [[virialna masa]]
* [[Derrickov izrek]] ([[enakost Pohožajeva]])
* [[ekviparticijski izrek]]

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{navedi revijo
 | last1 = Chandrasekhar
 | first1 = Subrahmanyan
 | authorlink1 = Subrahmanyan Chandrasekhar
 | last2 = Fermi
 | first2 = Enrico
 | authorlink2 = Enrico Fermi
 | date = 1953
 | title = Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field
 | journal = Ap. J.
 | volume = 118
 | pages = 116
 | format = PDF
 | url = http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1953ApJ...118..116C&amp;data_type=PDF_HIGH&amp;whole_paper=YES&amp;type=PRINTER&amp;filetype=.pdf
 | accessdate = 2012-03-24
 | doi = 10.1086/145732
 | bibcode = 1953ApJ...118..116C
 | ref = harv
}}
* {{navedi revijo
 | last1 = Chandrasekhar
 | first1 = Subrahmanyan
 | authorlink1 = 
 | last2= Lebovitz
 | first2 = Norman Ronald
 | authorlink2 = Norman Ronald Lebovitz
 | date = 1962
 | title = The Potentials and the Superpotentials of Homogeneous Ellipsoids
 | journal = Ap. J.
 | volume = 136
 | pages = 1037–1047
 | format = PDF
 | url = http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1962ApJ...136.1037C&amp;data_type=PDF_HIGH&amp;whole_paper=YES&amp;type=PRINTER&amp;filetype=.pdf
 | accessdate = 2012-03-24
 | doi = 10.1086/147456
 | bibcode = 1962ApJ...136.1037C
 | ref = harv
}}
* {{navedi revijo|last1= Clausius|first1= Rudolf Julius Emmanuel|authorlink1= Rudolf Julius Emmanuel Clausius|url= http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152258/f138.image|title= Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz|journal= [[Annalen der Physik]]|volume= Band&nbsp;217|issue= |date= 1870|pages= 124–130|ref= harv}}
* {{navedi revijo|last1= Clausius|first1= Rudolf Julius Emmanuel|authorlink1=|date= 1870|title= On a Mechanical Theorem Applicable to Heat|journal= Philosophical Magazine, Ser. 4|volume= 40|pages= 122–127|ref= harv}}
* {{navedi revijo|last1= Collins|first1= George W.|date= 1978|title= The Virial Theorem in Stellar Astrophysics|publisher= Pachart Press|url= http://ads.harvard.edu/books/1978vtsa.book/|postscript= |ref= harv}}
* {{navedi revijo|last1= Fok|first1= Vladimir Aleksandrovič|authorlink1= Vladimir Aleksandrovič Fok|date= 1930|title=  Bemerkung zum Virialsatz|journal= Zeitschrift für Physik A|volume= 63|issue= 11|pages= 855–858|doi=  10.1007/BF01339281|bibcode= 1930ZPhy...63..855F|ref= harv}}
* {{navedi revijo
 | last1 = Kolár
 | first1 = M.
 | last2 = O'Shea
 | first2 = S. F.
 | date = 1996-07
 | title = A high-temperature approximation for the path-integral quantum Monte Carlo method
 | journal = Journal of Physics A: Mathematical and General
 | volume = 29
 | issue = 13
 | pages = 3471–3494
 | format = PDF
 | bibcode = 1996JPhA...29.3471K
 | doi = 10.1088/0305-4470/29/13/018
 | accessdate = 2012-03-24
 | url = http://iopscience.iop.org/0305-4470/29/13/018/pdf/0305-4470_29_13_018.pdf
 | ref = harv
}}
* {{navedi revijo
 | last1 = Ledoux
 | first1 = Paul
 | authorlink1 = Paul Ledoux
 | date = 1945
 | title = On the Radial Pulsation of Gaseous Stars
 | journal = The Astrophysical Journal
 | volume = 102
 | pages = 143–153
 | url = http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1945ApJ...102..143L&amp;data_type=PDF_HIGH&amp;whole_paper=YES&amp;type=PRINTER&amp;filetype=.pdf
 | accessdate = 2012-03-24
 | doi = 10.1086/144747
 | bibcode = 1945ApJ...102..143L
 | ref = harv
}}
* {{navedi revijo
 | last1 = Parker
 | first1 = Eugene Newman
 | authorlink1 = Eugene Newman Parker
 | date = 1954
 | title = Tensor Virial Equations
 | journal = Physical Review
 | volume = 96
 | issue = 6
 | pages = 1686–1689
 | format = PDF
 | url = http://prola.aps.org/pdf/PR/v96/i6/p1686_1
 | accessdate = 2012-03-24
 | doi = 10.1103/PhysRev.96.1686
 | bibcode = 1954PhRv...96.1686P
 | ref = harv
}}
* {{navedi knjigo|last1= Poincaré|first1= Henri|authorlink1= Henri Poincaré|title= Lectures on Cosmological Theories| publisher= Hermann|location= Pariz|date= |ref= harv}}
* {{navedi revijo
 | last1 = Pollard
 | first1 = Harry
 | authorlink1 = Harry Pollard (matematik)
 | date = 1964
 | title = A sharp form of the virial theorem
 | journal = Bull. Amer. Math. Soc.
 | volume = LXX
 | pages = 703–705
 | format = PDF
 | url = http://www.ams.org/journals/bull/1964-70-05/S0002-9904-1964-11175-7/S0002-9904-1964-11175-7.pdf
 | accessdate = 2012-03-24
 | doi = 10.1090/S0002-9904-1964-11175-7
 | issue = 5
 | ref = harv
}}
* {{navedi knjigo
 | last1 = Pollard
 | first1 = Harry
 | authorlink1 =
 | title = Mathematical Introduction to Celestial Mechanics
 | publisher = Prentice–Hall, Inc.
 | location = Englewood Cliffs, NJ
 | year = 1966
 | ref = harv
}}
* {{navedi revijo|last1= Lord Rayleight|first1= |authorlink1= John William Strutt Rayleigh|date= 1903|title= Neznano|journal= |ref= harv}}
* {{navedi knjigo|last1= Schmidt|first1= George|title= Physics of High Temperature Plasmas|edition= 2.|publisher= Academic Press|date= 1979|ref= harv}}
{{refend}}

== Nadaljnje branje ==

* {{navedi knjigo|last1= Goldstein|first1= Herbert|authorlink1= Herbert Goldstein|date= 1980|title= Classical Mechanics|edition= 2.|publisher= Addison–Wesley |isbn= 0-201-02918-9|postscript= }}

== Zunanje povezave ==

* [http://www.mathpages.com/home/kmath572/kmath572.htm The Virial Theorem] na MathPages {{ikona en}}
* ''[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/gravc.html#c2 Gravitational Contraction and Star Formation]'', Državna univerza Georgie {{ikona en}}

{{fizikalna škrbina}}

[[Kategorija:Fizikalni izreki]]
[[Kategorija:Dinamika]]
[[Kategorija:Mehanika trdnin]]
[[Kategorija:Osnovni fizikalni koncepti]]
[[Kategorija:1870 v znanosti]]