Ogled vira Taylorjeva vrsta

[[Slika:sintay.png|thumb|right|250px|Funkcija <font color=#333333>sin(x)</font> in Taylorjevi približki, polinomi stopnje <font color=#b30000>1</font>, <font color=#00b300>3</font>, <font color=#0000b3>5</font>, <font color=#b3b300>7</font>, <font color=#00b3b3>9</font>, <font color=#b300b3>11</font> in <font color=#b3b3b3>13</font>.'']]

'''Taylorjeva vŕsta''' [téjlorjeva ~] v [[matematika|matematiki]] neskončno mnogokrat [[odvedljivost|odvedljive]] [[realno število|realne]] (ali [[kompleksno število|kompleksne]]) [[funkcija|funkcije]] ''f'' določena na [[interval (matematika)|odprtem intervalu]] (''a''-''r'', ''a''+''r'') je [[potenčna vrsta]]:

: <math> \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} \!\, , </math>

kjer je ''n''! [[fakulteta (funkcija)|fakulteta]] ''n'' in ''f''&nbsp;<sup>(''n'')</sup>(''a'') ''n''-ti [[odvod]] ''f'' v točki ''a''.

Če ta vrsta konvergira za vsak ''x'' v intervalu (''a''-''r'', ''a''+''r'') in je vsota enaka ''f''(''x''), se funkcija ''f''(''x'') imenuje '''analitična'''. Da se ugotovi ali vrsta konvergira k ''f''(''x''), se po navadi vzame ocene člena ostanka [[Taylorjev izrek|Taylorjevega izreka]]. Funkcija je analitična, [[če in samo če]] se jo lahko predstavi kot potenčno vrsto. Koeficienti v takšni potenčni vrsti so potem nujno tisti iz zgornje enačbe Taylorjeve vrste.

Če je ''a'' = 0, se vrsta imenuje tudi '''[[Colin Maclaurin|Maclaurinova]] vrsta'''.

Pomembnost prikaza takšne potenčne vrste je trojna. Potenčno vrsto se lahko prvič odvaja in integrira po členih, kar je še posebej lahko. Analitično funkcijo se lahko drugič izključno nadaljuje na [[holomorfna funkcija|holomorfno funkcijo]], določeno na odprtem disku v [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]], kjer se pridobi celotne postopke [[kompleksna analiza|kompleksne analize]]. In tretjič (odrezano) vrsto se lahko uporabi pri izračunu približnih vrednosti funkcije.

[[Slika:Expinvsq5.svg|thumb|right|250px|Funkcija <font color=#803300>e<sup>-1/x&sup2;</sup></font> ni analitična, Taylorjeva vrsta je 0, čeprav funkcija ni.]]

Obstajajo primeri neskončno mnogokrat odvedljivih funkcij ''f''(''x''), katerih Taylorjeve vrste konvergirajo, vendar ''niso'' enake ''f''(''x''). Na primer vsi odvodi ''f''(''x'') = exp(-1/''x''&sup2;) so v ''x'' = 0 enaki nič, tako, da je Taylorjeva vrsta ''f''(''x'') enaka nič in njen polmer konvergence je neskončen, četudi funkcija prav gotovo ni enaka nič. V kompleksnem funkcija ni odvedljiva, niti omejena ne.

Nekaterih funkcij se ne da zapisati s Taylorjevimi vrstami, ker vsebujejo [[matematična singularnost|singularnost]]. V takšnih primerih se jo lahko še vedno razvije v vrsto, če se dovoli tudi negativne potence spremenljivke ''x'' (glej [[Laurentova vrsta]]). Na primer funkcijo ''f''(''x'') = exp(-1/''x''&sup2;) se lahko zapiše kot Laurentovo vrsto. 

[http://www.math.jmu.edu/~jim/picard.html Parker-Sockackijev izrek] je nedaven napredek pri iskanju Taylorjevih vrst, ki so rešitve [[diferencialna enačba|diferencialnih enačb]]. Ta izrek je razširitev [[Picardova iteracija|Picardove iteracije]].

=== Seznam Taylorjevih vrst ===

Naštetih je nekaj pomembnih Taylorjevih vrst. Vsi razvoji veljajo tudi za kompleksne argumente ''x''. 

[[Eksponentna funkcija]] in [[naravni logaritem]]:

: <math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ za vse } x \!\, </math>

: <math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\, </math>

[[Geometrična vrsta]]:

: <math>\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\, </math>

[[Binomski izrek]]:

: <math>(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad\mbox{ za vse } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ in vse kompleksne } \alpha \!\, </math>

[[trigonometrična funkcija|Trigonometrične funkcije]]:

: <math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ za vse } x \!\, </math>

: <math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ za vse } x \!\, </math>

: <math>\textrm{tg}\; x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \!\, </math>

: <math>\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \!\, </math>

: <math>\textrm{arc}\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\, </math>

: <math>\textrm{arc}\;\textrm{tg}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\, </math>

[[hiperbolična funkcija|Hiperbolične funkcije]]:

: <math>\textrm{sh}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ za vse } x \!\, </math>

: <math> \textrm{ch}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ za vse } x \!\, </math>

: <math>\textrm{th}\; x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \!\, </math>

: <math>\textrm{sh}^{-1}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\, </math>

: <math>\textrm{th}^{-1}\; x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ za } \left| x \right| < 1 \!\, </math>

[[Lambertova funkcija W]]:

: <math>W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ za } \left| x \right| < \frac{1}{e} \!\, </math>

Števila ''B''<sub>''k''</sub> v razvoju tg(''x'') in th(''x'') so [[Bernoullijevo število|Bernoullijeva števila]]. C(α,''n'') v binomskem razvoju so [[binomski koeficient]]i. ''E''<sub>''k''</sub> v razvoju sec(''x'') so [[Eulerjevo število|Eulerjeva števila]].

{{-}}

{{zaporedja in vrste}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]
[[Kategorija:Infinitezimalni račun]]
[[Kategorija:Matematične vrste]]
{{normativna kontrola}}