Ogled vira Srčnica

[[Slika:Cardioid animation.gif|right|thumb|250px|Nastanek srčnice z [[vrtenje]]m [[krožnica|krožnice]] po drugi krožnici.]]
[[Slika:CardioidCircleEnvelope.svg|thumb|right|250px|Srčnica prikazana kot ovojnica krožnic, katerih središča ležijo na dani krožnici in gredo skozi stalno točko na dani krožnici.]]

'''Sŕčnica''' (tudi '''kardioída''') (iz [[stara grščina|starogrške]] besede {{jezik-el2|καρδία}}, kar pomeni ''[[srce]]'') je [[ravnina|ravninska]] [[krivulja]], ki nastane pri [[vrtenje|vrtenju]] [[krožnica|krožnice]] po drugi negibni krožnici z enakim [[polmer]]om. Pri tem se spremlja negibna točka na gibajoči se krožnici.

== Parametrična oblika enačbe ==

[[parametrična enačba|Parametrična]] oblika enačbe srčnice je:

: <math> x = a (2\cos t - \cos 2 t) \!\, , </math>
: <math> y = a (2\sin t - \sin 2 t) \!\, . </math>

To se v [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]] lahko zapiše kot:

: <math> z = a (2e^{it} - e^{2it}) \!\, , </math>

kjer je:
* <math> a \,</math> polmer krožnice, ki dela krivuljo. Negibna krožnica ima središče v koordinatnem izhodišču. 

Točka, ki dela krivuljo, se krivulje dotika samo v eni točki, to je točka <math>(a, 0)\, </math>, kjer ima krivulja konico. 

Če se eliminira parameter <math>t\, </math>, je:

: <math> (z\bar{z}-a^2)^2 -4a^2(z-a)(\bar{z}-a)=0 \!\, , </math>

to pa je v pravokotnem koordinatnem sistemu:

: <math> (x^2+y^2-a^2)^2-4a^2((x-a)^2+y^2)=0 \!\, . </math>

Enačbo se lahko tudi poenostavi tako, da se negibna krožnica premakne v desno, in se gibajoča se krožnica dotika negibne v izhodišču. To spremeni orientacijo krivulje tako, da je konica krivulje na levi strani. V tem primeru je parametrična oblika enačbe:

: <math> x = a (1 + 2\cos t + \cos 2 t) \!\, , </math>
: <math> y = a (2\sin t + \sin 2 t) \!\, . </math>

V kompleksni ravnini je to:

: <math> z = a (1 + 2e^{it} + e^{2it}) = a(1 + e^{it})^2 \!\, . </math>

V [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]] je enačba srčnice:

: <math> \left(x^2+y^2-2ax\right)^2 = 4a^2\left(x^2 + y^2\right) \!\, . </math>
 
== Povezave z drugimi krivuljami ==

* posebna oblika srčnice je krivulja [[polž (krivulja)|polž]]
* srčnica je posebna oblika [[epicikloida|epicikloide]]
* srčnica je [[katakavstika]] krožnice z izvorom svetlobe na krožnici
* [[evoluta]] srčnice je druga srčnica <ref>[http://www.2dcurves.com/roulette/rouletteca.html Srčnica]</ref >

== Značilnosti ==

* ploščina ploskve, ki jo zavzema srčnica, je enaka:

: <math> p = 6 \pi a^2 \!\, . </math>

To je 6 krat več kot je ploščina posameznega kroga, ki je sodeloval pri izdelavi srčnice. 
* [[dolžina loka]] srčnice se lahko izračuna iz:
: <math> L = 16 a \!\, . </math>

== Kavstika ==

Nekatere [[kavstika (matematika)|kavstike]] imajo obliko srčnice. 

[[Slika:Inverse Curves Parabola Cardioid.svg|right|right|250px|Srčnica (v zeleni barvi) se dobi kot [[inverzna krivulja|inverzna]] [[krivulja]] [[parabola|parabole]] (v rdeči barvi) glede na [[krožnica|krožnico]] (črtkano).]]
== Inverzna krivulja ==

Srčnica je [[inverzna krivulja|inverzna]] [[krivulja]] [[parabola|parabole]]. Kadar se poišče inverzno krivuljo glede na krožnico, katere središče leži v gorišču parabole, se vedno dobi srčnica. Konica srčnice leži v središču krožnice. 

Ni pa vsaka inverzna krivulja parabole srčnica. Na primer: če se poišče inverzno krivuljo za parabolo glede na krožnico, katere središče leži na vrhu parabole, se dobi [[Dioklesova cisoida|Dioklesovo cisoido]].

== Sklici ==
{{sklici|1}}

== Zunanje povezave ==

* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/cardioid/cardioid.shtml  Srčnica (tudi animacije)] {{ikona fr}}
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/antipodaire/antipodaire.shtml Kontrapedala ali ortokavstika] {{ikona fr}}
* {{MathWorld|id=Cardioid|title=Cardioid}}
* [http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Cardioid_dir/cardioid.html Srčnica] {{ikona en}}

{{-}}

{{ravninske krivulje}}

[[Kategorija:Krivulje]]