Ogled vira Riemannova funkcija zeta

[[Slika:Complex zeta.jpg|thumb|right|250px|Riemannova funkcija <math>\zeta(s)</math> v [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]]. [[Barva]] [[točka|točke]] ''s'' odkriva vrednost ζ(''s''): močne barve blizu [[črna|črne]] označujejo vrednosti blizu [[0|nič]], odtenek pa [[argument (kompleksna analiza)|argument]] vrednosti. Bela pega pri ''s'' = 1 je [[pol (kompleksna analiza)|pol]] funkcije ζ; črne pege na negativni realni osi in na kritični premici <math>\Re(s) = 1/2</math> so njene [[ničla funkcije|ničle]]. Vrednosti z argumentom blizu nič, ki vključujejo [[pozitivno število|pozitivna]] [[realno število|realna števila]] na realnem [[poltrak]]u so prikazane z [[rdeča|rdečo]].]]

'''Riemannova funkcija zeta''' ali '''Euler-Riemannova funkcija zeta''' (običajna označba <math>\zeta(s)</math>) je v [[matematika|matematiki]] in še posebej v [[analitična teorija števil|analitični teoriji števil]] [[specialna funkcija|specialna]] [[funkcija]], definirana za vsako [[kompleksno število]] ''s'' z [[realno število|realnim]] delom > [[1 (število)|1]] z [[neskončna vrsta|neskončno vrsto]] kot:<ref name="abramowitz_1972">{{sktxt|Abramowitz|Stegun|1972|pp=807}}.</ref>

: <math> \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \!\, . </math>

V območju <math>{s : \Re(s) > 1}\, </math>, ta [[Dirichletova vrsta]] [[konvergentna vrsta|konvergira]] in definira [[holomorfna funkcija|holomorfno funkcijo]]. (V tem izrazu <math>\Re\, </math> pomeni [[realni del]] kompleksnega števila.) [[Bernhard Riemann]] je ugotovil, da se lahko funkcijo ζ razširi s pomočjo [[analitično nadaljevanje|analitičnega nadaljevanja]] na en sam način v holomorfno funkcijo <math>\zeta (s)\, </math>, definirano za vsa kompleksna števila ''s'', za katera velja ''s'' ≠ 1. Pokazal je naprej kako se razširi funkcija <math>\zeta (s)\, </math> na vse kompleksne vrednosti ''s'', različne od 1. Tako definirana funkcija postane [[meromorfna funkcija]] kompleksne spremenljivke ''s'', ki je holomorfna na območju ''s'' ≠ 1 [[kompleksna ravnina|kompleksne ravnine]] in ima [[pol (kompleksna analiza)|enostavni pol]] v ''s'' = 1:<ref name="adamchik_1998">{{sktxt|Adamchik|Srivastava|1998}}.</ref>

: <math> \zeta (s) = \begin{cases}
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \frac{1}{1-2^{-s}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{s}}; & \Re (s) > 1 \\
\displaystyle \frac{\eta (s)}{1-2^{1-s}}; & \Re (s) > 0, s \ne 1 \!\, , \end{cases} </math>

kjer je <math>\eta (s)\, </math> [[Dirichletova funkcija eta|Dirichletova funkcija η]], definirana kot [[alternirajoča vrsta]]:

: <math> \eta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{s}} \!\, . </math>

Tako dobljena funkcija je predmet [[Riemannova domneva|Riemannove domneve]]. Kompleksna spremenljivka ''s'' je velikokrat napisana v obliki <math>s= \sigma + it</math>, kjer je <math>\sigma = \Re (s)\, </math> [[realni del]] ''s'' in <math>t=\Im(s)</math> [[imaginarni del]] ''s''. Riemann je podal [[funkcijska enačba|funkcijsko enačbo]] za funkcijo ζ, ki povezuje vrednosti v ''s'' in 1 - ''s''.

Vrednosti Riemannove funkcije ζ za [[sodo število|soda]] [[pozitivno število|pozitivna]] [[celo število|cela števila]] je izračunal [[Leonhard Euler|Euler]]. Vrednost ζ(2) je rešitev [[baselski problme|baselskega problema]]. Leta 1979 je [[Roger Apéry|Apéry]] dokazal [[iracionalno število|iracionalnost]] vrednosti [[Apéryjeva konstanta|ζ(3)]]. Vrednosti v negativnih celoštevilskih točkah, ki jih je tudi našel Euler, so [[racionalno število|racionalne]] in so pomembne v teoriji [[modularna forma|modularnih form]]. Znanih je več posplošitev Riemannove funkcije ζ, kot na primer Dirichletove vrste, [[Dirichletova L-funkcija|Dirichletove L-funkcije]] ([[Dirichletova funkcija beta|Dirichletova funkcija β]], Dirichletova funkcija η, [[Dirichletova funkcija lambda|Dirichletova funkcija λ]]), [[Hurwitzeva funkcija zeta|Hurwitzeva funkcija ζ]] in [[L-funkcija|L-funkcije]].

== Eulerjev produkt za Riemannovo funkcijo ζ ==

Že Leonhard Euler je opazil povezavo med to funkcijo in [[praštevilo|praštevili]]:<ref name="simonic_2014">{{sktxt|Simonič|2014}}.</ref> 

: <math> \begin{align}
\zeta(s) &= \prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^{s}}} = \prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{1 - p^{-s}} \\
         & = \left(1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{2^{2s}} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{3^{2s}} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^{s}} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots \!\, , \end{align} </math>

[[Slika:Zeta.png|thumb|right|250px|Graf Riemannove funkcije ζ za <math>\Re(s) > 1</math>]]
[[Slika:Zeta function graph.png||thumb|right|250px|Graf Riemannove funkcije ζ. Negativne vrednosti so povečane stokrat]]
[[Slika:RiemannCriticalLine.svg|thumb|right|250px|[[realni del|Realni]] (rdeče) in [[imaginarni del]] (modro) Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice <math>\Re (s) = 1/2\, </math>.]]

kjer [[neskončni produkt]] teče po vseh praštevilih ''p''. To je posledica enačbe za [[geometrijsko zaporedje|geometrijska zaporedja]] in [[osnovni izrek aritmetike|osnovnega izreka aritmetike]]. Ker [[harmonična vrsta]] pri vrednostih ''s'' = 1 divergira, iz Eulerjeve formule izhaja, da je praštevil [[neskončna množica|neskončno]] [[množica|mnogo]].

S pomočjo [[Eulerjev produkt|Eulerjevega produkta]] za celoštevilski ''s'' se rahko izračuna [[verjetnost]], da bosta [[naključje|naključno]] izbrani celi števili [[tuje število|tuji]]. Izkaže se, da je verjetnost res enaka <math>1/\zeta (s)\, </math>.

== Značilnosti ==

O Riemannovi funkciji ζ na kritični premici govori članek o [[funkcija Z|funkciji Z]]. O vsotah, ki so povezane z Riemannovo funkcijo ζ za celoštevilske vrednosti, govori članek o [[racionalna vrsta zeta|racionalni vrsti ζ]].

Riemannova funkcija <math>\zeta\, </math> je povezana z Dirichletovo funkcijo η in [[Dirichletova funkcija lambda|Dirichletovo funkcijo λ]] kot:

: <math> \frac{\zeta (s)}{2^{s}} = \frac{\eta (s)}{2^{s} -2} = \frac{\lambda (s)}{2^{s}-1} \!\, </math>

in:

: <math> \zeta (s) = 2 \lambda (s) - \eta (s) \!\, . </math>

=== Posebne vrednosti Riemannove funkcije ζ ===
{{glavni|konstanta zeta}}

Sledijo najpogosteje rabljene vrednosti Riemannove funkcije ζ.

: <math> \zeta (-3) = - \frac{1}{7} \lambda (-3) = \frac{1}{120} = 0,008\overline{3} \!\, , </math> tu je <math>\lambda (s)\, </math> [[Dirichletova funkcija lambda|Dirichletova funkcija λ]]; pri računanju [[energija|energije]] pri [[Casimirjev pojav|Casimirjevem pojavu]] v fiziki

: <math> \zeta (-1) = - \lambda (-1) = - \frac{1}{12} = - 0,08\overline{3} \!\, . </math>

: <math> \zeta (0) = -\frac{1}{2} = - 0,5 \!\, ; </math> vrsta [[1 + 1 + 1 + 1 + · · ·]].

: <math> \zeta (1/2) = -1,4603545088095868 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A059750}}.

: <math> \zeta (1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty \!\, ; </math> [[harmonična vrsta]].

: <math> \zeta (3/2) = 2,6123753486854883 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A078434}}; pri računanju [[kritična temperatuta|kritične temperature]] za [[Bose-Einsteinov kondenzat]] v fiziki.

: <math> \zeta (2) = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \cdots = B_{2} \pi^{2} = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1,645 \!\, , </math> {{OEIS|id= A013661}}; [[baselski problem]]. Obratna vrednost te vsote je [[verjetnost]], da sta dve naključno izbrani števili [[tuje število|tuji]].<ref>{{sktxt|Ogilvy|Anderson|1988|pp=29–35}}.</ref>

: <math> \zeta (5/2) \approx 1,341 \!\, , </math>

: <math> \zeta (3) = 1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \cdots \approx 1,202 \!\, , </math> {{OEIS|id=A002117}}; [[Apéryjeva konstanta]]. Dvorazsežni [[Debyejev model]] in dvorazsežni [[Stefan-Boltzmannov zakon]].

: <math> \zeta (7/2) \approx 1,127 \!\, , </math>

: <math> \zeta (4) = 1 + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{3^{4}} + \cdots = \frac{|B_{4}|}{3} \pi^{4} = \frac{\pi^{4}}{90} \approx 1,0823 \!\, , </math> {{OEIS|id=A0013662}}; [[Stefan-Boltzmannov zakon]] in [[Wienov približek]] v fiziki, kjer je <math>B_{4}</math> [[Bernoullijevo število]].

[[Slika:Zeta polar.svg|thumb|right|250px|[[polarni koordinatni sistem|Polarni]] graf Riemannove funkcije <math>\zeta (1/2 + it)\!\,</math> vzdolž kritične premice za <math>t \in [0,34]</math>. Vrednosti za <math>t=0</math>, <math>\zeta (1/2) \approx -1,460</math> odgovarja najbolj leva točka na krivulji. Prve ničle so mesta, kjer spirale obkrožajo izhodišče. Graf je točen na 6 decimalk.]]
Euler je lahko izračunal ζ(''2n'') za soda [[celo število|cela števila]] ''2n'' s pomočjo enačbe:

: <math> \zeta (2n) = \frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} \!\, , </math>

kjer so ''B''<sub>2''n''</sub> [[Bernoullijevo število|Bernoullijeva števila]]. Iz tega se vidi, da velja ζ(2) = ''π''<sup>2</sup>/6, ζ(4) = ''π''<sup>4</sup>/90, ζ(6) = ''π''<sup>6</sup>/945 itd. To daje dobro znane [[neskončnost|neskončne]] [[vsota|vsote]] za [[pi|''π'']]. Za liha cela števila to ni tako preprosto. [[Srinivasa Ajangar Ramanudžan|Ramanudžan]] je v zvezi s tem opravil nekaj velikega dela.

=== Funkcijska enačba ===

Riemannova funkcija ζ zadošča naslednji [[funkcijska enačba|funkcijski enačbi]]:

: <math> \zeta (s) = 2^{s}\pi^{s-1}\sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \Gamma (1-s)\zeta (1-s) \!\, , </math>

veljavni za vse ''s'' v <math>\Complex - \{0,1\}</math>. Tu Γ pomeni [[funkcija gama]]. Enačbo je treba tolmačiti analitično, če imajo kateri faktorji ničlo ali pol. Če je na primer ''s'' enako 2, ima desna stran enostavno ničlo v faktorju pri sinusu in enostavni pol v faktorju pri funkciji gama. Oba skupaj dasta neničelno končno vrednost. Podobno je pri ''s'' enako 0, kjer ima desna stran enostavno ničlo v faktorju pri sinusu in enostavni pol v faktorju pri funkciji ζ, ter skupaj data neničelno končno vrednost. Če je ''s'' enako 1, ima desna stran enostavni pol v faktorju pri funkciji gama, ki se ne poniči z nobenim drugim faktorjem, in je v skladu s funkcijo ζ na levi strani, ki ima enostavni pol pri 1. Enačbo je dokazal Riemann v svojem znamenitem edinem članku s področja teorije števil leta [[1859 v znanosti|1859]] in se tako ali tako uporablja za konstrukcijo analitičnega nadaljevanja. Podobno zvezo je leta 1749 podal Euler za funkcijo:

: <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{s}}=\zeta (s)-\frac{2}{2^{s}}\zeta (s) \!\, . </math>

Po [[André Weil|Weilu]] je Riemann najbrž dobro poznal Eulerjevo delo na tem področju.<ref>{{sktxt|Ayoub|1974}}.</ref> Pri ''s'' = 1 ima funkcija ζ enostavni pol z [[residuum (kompleksna analiza)|ostankom]] 1. Enačba kaže tudi, da ima Riemannova funkcija ζ trivialne ničle pri -2, -4, -6, -8, -10, ... .

Za Riemannovo funkcijo ζ velja tudi simetrična funkcijska enačba:

: <math> \Xi (s) = \Xi (1-s) \!\, , </math>

kjer je:

: <math> \Xi (s) = \pi^{-s/2} \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \zeta (2) \!\, . </math>

Riemann je definiral podobno funkcijo, ki jo je imenoval <math>\xi (t)\, </math>. Funkcijska enačba da tudi asimptotično limito:

: <math> \zeta \left( {1 - s} \right) = \left( {\frac{s}{{2\pi e}}} \right)^{s} \sqrt {\frac{{8\pi }}{s}} \cos \left( {\frac{{\pi s}}{2}} \right)\left( {1 + O\left( {\frac{1}{s}} \right)} \right) \!\, . </math>
(''Gergő Nemes, 2007'')

=== Ničle Riemannove funkcije ζ ===

Funkcija ζ ima [[ničla funkcije|ničle]] pri negativnih sodih celih številih in te se imenujejo '''trivialne ničle'''. Trivialne so v smislu, da je njihov obstoj relativno enostavno dokazati, na primer iz <math>\sin ((\pi s)/s)=0</math> v funkcijski enačbi. Te ničle se imenujejo tudi '''realne ničle''', saj drugih realnih ničel ni. 

Netrivialne ničle so vzbudile veliko večjo pozornost, ker ne le, da se ne pozna dovolj njihove porazdelitve, ampak se njihovo raziskovanje tiče praštevil in sorodnih objektov v teoriji števil. Ničle funkcije ζ(''s'') so pomembne, ker se lahko uporabi določene [[krivuljni integral|krivuljne integrale]], ki vključujejo funkcijo ln(1/ζ(''s'')), za aproksimacijo [[število praštevil|funkcije za štetje praštevil π(''x'')]] (glej [[praštevilski izrek]]). Te krivuljne integrale se izračuna s pomočjo [[izrek o residuih|izreka o ostankih]], torej se potrebuje vedenje o singularnostih integranda. 

Znano je, da vsaka netrivialna ničla leži na odprtem traku <math>\{ s \in \Complex: 0 < \Re (s) < 1\} \, </math>, ki se imenuje '''kritični trak'''. Riemannova domneva, ki je ena od najbolj znanih [[nerešeni matematični problemi|nerešenih problemov v matematiki]], pravi, da ima vsaka netrivialna ničla realni del <math>\Re (s)=1/2</math>. V teoriji Riemannove funkcije ζ se množica <math>\{ s \in \Complex: \Re (s) = 1/2 \} \, </math> imenuje '''kritična premica'''. Netrivialne ničle se včasih imenujejo tudi '''kompleksne ničle'''.

Lega ničel Riemannove funkcije ζ je izrednega pomena v teoriji števil. Iz dejstva, da netrivialne ničle ležijo na kritičnem traku, je moč izpeljati praštevilski izrek. Boljši rezultat je, da je ζ(σ+it) ≠ 0 pri |t| ≥ 3 in:

: <math> \sigma\ge 1-\frac{1}{57,54(\log{|t|})^{2/3}(\log{\log{|t|}})^{1/3}} \!\, . </math>

Najmočnejši rezultat te vrste je resničnost Riemannove domneve. Imel bi daljnosežne posledice v teoriji števil.

[[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] in [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] sta leta 1921 dokazala, da obstaja neskončno mnogo ničel na kritični premici. Littlewood je pokazal, da, če zaporedje (γ<sub>''n''</sub>) vsebuje imaginarne dele vseh ničel v [[zgornja polravnina|zgornji polravnini]] v naraščajočem redu, potem velja:

: <math> \lim_{n\rightarrow\infty}\gamma_{n+1}-\gamma_{n}=0 \!\, . </math>

[[Izrek o kritični premici]] pravi, da pozitivni delež netrivialnih ničel leži na kritični premici. Izrek je za majhen pozitivni delež dokazal [[Atle Selberg|Selberg]] leta 1942. [[Norman Levinson|Levinson]] je leta 1974 dokazal, da več kot 1/3 netrivialnih ničel leži na kritični premici, leta 1989 pa je Conrey izboljšal vrednost na več kot 2/5. Po Riemannovi domnevi je delež enak 1.

Na kritičnem traku je ničla z najmanjšim nenegativnim imaginarnim delom enaka <math>\rho_{1} = 1/2 + i 14,13472514...\, </math> Iz funkcijske enačbe se neposredno vidi, da so netrivialne ničle simetrične glede na os <math>\Re (s) = 1/2\, </math>. Dejstvo, da je ζ(''s'')&nbsp;=&nbsp;ζ(''s''*)* za vsak kompleksni ''s'' ≠ 1 (kjer * označuje [[konjugirano kompleksno število]]), pomeni, da so ničle Riemannove funkcije ζ simetrične glede na realno os.

Statistika ničel Riemannove funkcije ζ zelo zanima matematike zaradi povezave s pomembnimi problemi kot so Riemannova domneva, porazdelitev praštevil itd. Področje raziskovanja je še širše zaradi povezave s teorijo [[naključna matrika|naključnih matrik]] in [[kvantni kaos|kvantnega kaosa]]. Raziskovali so [[fraktal]]no zgradbo ničel.<ref name="Shanker">{{sktxt|Shanker|2006}}.</ref> Samopodobnost porazdelitev ničel vzbuja pozornost, značilna zanjo pa je tudi velika fraktalna razsežnost 1,9.

=== Obrat in rodovne funkcije ===

[[obratna funkcija|Obrat]] funkcije ζ se lahko izrazi s pomočjo [[Möbiusova funkcija|Möbiusove funkcije]] μ(''n'') kot sledi:

: <math> \frac{1}{\zeta (s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{s}} \!\, , </math>

za vsako kompleksno število ''s'' z realnim delom > 1. To se lahko skupaj z zgornjim izrazom za ζ(2) uporabi za dokaz, da je verjetnost, da sta si dve naključno izbrani celi števili [[tujost|tuji]] enaka 6/''π''<sup>2</sup>. Na podoben način Riemannova funkcija ζ generira veliko [[aritmetična funkcija|aritmetičnih funkcij]]. Na primer z [[Mertensova funkcija|Mertensovo funkcijo]]:

: <math> \frac{1}{\zeta (s)} = s \int_{1}^{\infty} \frac{M (x)}{x^{s+1}} \mathrm{d} x \!\, . </math>

Riemannova funkcija <math>\zeta\, </math> je določena tudi z Dirichletovo vrsto, kjer je <math>\zeta (s)\, </math> prototip, ki generira konstantno aritmetično funkcijo <math> f (n)=1\, </math> za vse ''n'':

: <math> \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \frac{1}{n^{s}} \!\, .  </math>

[[kvadrat (algebra)|Kvadrat]] Euler-Riemannove funkcije <math>\zeta (s)\, </math> generira funkcijo [[število deliteljev|števila deliteljev]] <math>\tau (n)\, </math>:

: <math> \zeta (s)^{2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\tau (n)}{n^{s}} \!\, .  </math>

Čeprav matematiki mislijo, da je Riemannova funkcija ζ pomembna predvsem za »najčistejšo« [[matematika|matematično]] disciplino, [[teorija števil|teorijo števil]], se pojavlja tudi v uporabni [[statistika|statistiki]] (glej [[Zipfov zakon]] in [[Zipf-Mandelbrotova porazdelitev]]), [[fizika|fiziki]], in matematični teoriji uglaševanja [[glasbilo|glasbil]].

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Abramowitz|first1= Milton|authorlink1= Milton Abramowitz|last2= Stegun|first2= Irene Anne|authorlink2= Irene Anne Stegun|chapter= Riemann Zeta Function and other Sums of Recirocal Powers. §23.2|title= [[Handbook of Mathematical Functions|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|edition= 9.|publisher= Dover|location= New York|pages= 807-808|date 1972|isbn= 978-0486612720|mr= 0167642|ref= harv}} Glej razdelek [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_807.htm §23.2]
* {{citat|last1= Adamchik|first1= Victor S.|last2= Srivastava|first2= H. M.|title= Some series of the zeta and related functions|journal= [[Analysis]]|date= 1998|volume= 18|issue= |pages= 131–144|url= http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/sums/zeta.pdf|doi= 10.1524/anly.1998.18.2.131|ref= harv}}
* {{citat|last1= Ayoub|first1= Raymond|authorlink1= Raymond Ayoub|title= Euler and the Zeta Function|date= 1974-12|journal= [[American Mathematical Monthly]]|volume= 81|pages= 1067-1086|ref= harv}}
* {{citat|last1= Edwards|first1= Harold M.|authorlink1= |title= Riemann's zeta function|url= http://books.google.de/books?id=IpZjL5_EsI8C&hl=sl&source=gbs_navlinks_s|date= 1974|publisher= Academic Press|location= New York; London|isbn= 0-12-232750-0|cobiss= 8815193|ref= harv}}
* {{citat|last1= Ogilvy|first1= C. Stanley|last2= Anderson|first2= J. T.|title= Excursions in Number Theory|publisher= Dover Publications Inc.|date= 1988|isbn= 0-486-25778-9|ref= harv}}
* {{citat|last1= Shanker|first1= O.|date= 2006|title=Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions|journal= J. Phys. A: Math. Gen.|volume= 39|pages= 13983-13997|doi =10.1088/0305-4470/39/45/008|ref= harv}}
* {{citat|last1= Simonič|first1= Aleksander|authorlink1= Aleksander Simonič|title= O neki zvezi med Riemannovo funkcijo zeta in praštevili|journal= [[Obzornik za matematiko in fiziko]]|volume= 61|issue= 6|date=november 2014|pages= 201–2112|issn= 0473-7466|cobiss= 17201753|ref= harv}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|urlname=RiemannZetaFunction|title=Riemann Zeta Function}}

{{-}}

{{L-funkcije}}

[[Kategorija:Analitična teorija števil]]
[[Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije]]
[[Kategorija:Bernhard Riemann]]
[[Kategorija:1859 v znanosti]]
{{normativna kontrola}}