Ogled vira Primoriela

[[Slika:Primorial pn plot.png|thumb|right|250px|<math>p_{n} \# \, </math> kot funkcija <math>n\, </math> v logaritemskem grafu]]
[[Slika:Primorial n plot.png|thumb|right|250px|<math>n \# \, </math> kot funkcija <math>n\, </math> (rdeče pike) v primerjavi z <math>n!\, </math> v logaritemskem grafu]]

'''Primoriela''' ({{jezik-en|primorial}}) je v [[matematika|matematiki]] in še posebej v [[teorija števil|teoriji števil]] [[funkcija]] [[naravno število|naravnih števil]] v naravna števila podobno kot funkcija [[fakulteta (funkcija)|fakultete]]. Namesto [[množenje|množenja]] zaporednih [[pozitivno število|pozitivnih]] [[celo število|celih števil]] se množijo zaporedna [[praštevilo|praštevila]].

Obstajata dve nasprotujoči definiciji primoriel, ki se razlikujeta v tolmačenju argumenta:
* prva definicja tolmači argument kot indeks členov [[zaporedje|zaporedja]] praštevil, tako da je funkcija [[monotonost|strogo naraščajoča]],
* druga definicija tolmači argument kot mejo praštevil, ki jih je treba pomnožiti, tako da vrednost funkcije pri poljubnem [[sestavljeno število|sestavljenem številu]] enaka kot pri predhodniku. Preostanek članka uporablja drugo definicijo.

Ime »primoriela« pripisujejo ameriškemu inženirju in matematiku [[Harvey Dubner|Harveyju Dubnerju]] in je podobna analogiji s ''praštevili'' (''primes'') na enak način kot je ime »fakulteta« (»faktoriela«) povezana s ''faktorji''.

== Definicija za praštevila ==

Za ''n''-to praštevilo <math>p_{n}\, </math> je primoriela <math>p_{n} \# \, </math> definirana kot [[produkt]] prvih <math>n\, </math> praštevil:<ref name="mathworld">{{MathWorld|id=Primorial|title=Primorial}}</ref><ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref>

: <math> p_{n}\# = \prod_{k=1}^{n} p_{k} \!\, , </math>

kjer je <math>p_{k}\, </math> ''k''-to praštevilo.

<math>p_{5} \# \, </math> na primer označuje produkt prvih 5 praštevil:

: <math> p_{5}\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310 \!\, . </math>

Prve primoriele <math>p_{n} \# \, </math> za <math>n \ge 0\, </math> so {{OEIS|id=A002110}}:

: [[1 (število)|1]], [[2 (število)|2]], [[6 (število)|6]], [[30 (število)|30]], [[210 (number)|210]], 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, ...

Zaporedje vsebuje tudi <math>p_{0} \# = 1\, </math> kot [[prazni produkt]], ki je po dogovoru enak [[0]].

Asimptotično primoriele <math>p_{n} \# \, </math> naraščajo kot:

: <math> p_{n}\# = e^{(1 + o(1)) n \log n} \!\, , </math>

kjer je <math>o(\cdot)</math> [[O notacija|Landauov simbol]].<ref name="OEIS A002110" />

== Definicija za naravna števila ==

V splošnem se lahko za pozitivno celo število <math>n\, </math> tudi definira takšna primoriela <math>n \# \, </math> kot produkt tistih praštevil <math>\le n\, </math>:<ref name="mathworld" /><ref name="OEIS A034386">{{OEIS|id=A034386}}</ref>

: <math> n\# = \prod_{i=1}^{\pi (n)} p_{i} = p_{\pi (n)}\# \!\, , </math>

kjer je <math>\scriptstyle\pi(n)</math> funkcija [[število praštevil|števila praštevil]] {{OEIS|id=A000720}}, ki podaja število praštevil <math>\le n\, </math>.

To je enakovredno:

: <math>
n\# = \begin{cases}
    1                  &; n = 1 \\
    n ((n-1)\#)        &; n > 1\ \text{ in} \ n \text{ je praštevilo} \\
    (n-1)\#            &; n > 1\ \text{ in} \ n \text{ je sestavljeno} \!\, . \end{cases} </math>

12# na primer predstavlja produkt tistih praštevil <math>\le 12\, </math>:

: <math> 12\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310 \!\, . </math>

Ker je <math>\scriptstyle\pi(12)=5\, </math>, se to lahko izračuna kot:

: <math> 12\# = p_{\pi(12)}\# = p_{5}\# = 2310 \!\, . </math>

Prve primoriele <math>n \# \, </math> za <math>n \ge 0\, </math> so {{OEIS|id=A034386}}:

: 1, 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310, 30030, 30030, 30030, 30030, ...

Zaporedje vsebuje tudi <math>0 \# = 1\, </math> in <math>1 \# = 1\, </math>.

Vidi se, da je za sestavljeno število <math>n\, </math> vsak člen <math>n \# \, </math> podvojen predhodni člen <math>(n-1) \# \, </math>, kot je podano z definicijo. V zgornjem zgledu velja <math>12 \# = p_{5} \# = 11 \# \, </math>, ker je 12 sestavljeno število.

[[Naravni logaritem]] funkcije <math>n \# \, </math> je prva [[funkcija Čebišova]], zapisana kot <math>\theta (n)\, </math> ali <math>\thetasym (n)\, </math>, ki se za velike <math>n\, </math> linearno približuje <math>n\, </math>.<ref>{{MathWorld|id=ChebyshevFunctions|title=Chebyshev Functions}}</ref>

Primoriele <math>n \# \, </math> naraščajo kot:

: <math> \ln (n\#) \sim n \!\, . </math>

Zamisel o množenju vse znanih praštevil se pojavlja v nekaterih [[matematični dokaz|dokazih]] za [[Evklidov izrek za praštevila|neskončno število praštevil]], kjer se uporabi za izpeljavo obstoja drugega praštevila.

== Uporabe in značilnosti ==

Primoriele se uporabljajo pri iskanju [[aritmetično zaporedje praštevil|praštevil v aditivnih]] [[aritmetično zaporedje|aritmtičnih zaporedjih]]. 2236133941 + 23# je na primer praštevilo in začenja zaporedje trinajstih praštevil, najdenih z zaporednim prištevanjem števila 23#. To zaporedje se konča s številom 5136341251. 23# je tudi skupna razlika v aritmetičnih zaporedjih petnajstih in šestnajstih praštevil.

Vsako [[zelo estavljeno število]] je produkt primoriel (na primer število [[360 (število)|360]] = 2 · 6 · 30).<ref>{{OEIS|id=A002182}}, ''Highly composite numbers''.</ref>

Primoriele so [[deljivost brez kvadrata|nekvadratna cela števila]] in vsaka ima več različnih [[prafaktor]]jev kot katerokoli število manjše od nje. Za vsako primorielo <math>n\, </math> je [[ulomek]] <math>\phi (n)/n\, </math> manjši kot za katerokoli manjše celo število. Tu je <math>\phi</math> [[Eulerjeva funkcija fi|Eulerjeva funkcija &phi;]].

Vsaka [[polnoma multiplikativna funkcija|popolnoma]] [[multiplikativna funkcija]] je definirana s svojimi vrednostmi pri primorielah, ker je definirana s svojimi vrednostmi pri praštevilih, kar se lahko izpelje z deljenjem sosednjih vrednosti.

Sistemi z bazami, ki odgovarjajo primorielam (kot na primer baza 30, kar se ne sme zamenjevati z [[mešana baza|primorielnim številskim sistemom]]), imajo manjše razmerje [[desetiški ulomek|periodičnih ulomkov]] kot katerakoli manjša baza.

Vsaka primoriela je [[redko totientno število]].<ref>{{sktxt|Masser|Shiu|1986}}.</ref>

[[vsota|Vsoti]] [[neskončna vrsta|neskončnih]] [[vrsta (matematika)|vrst]] [[obratna vrednost|obratnih vrednosti]] primoriel obeh vrst konvergirata in sta enaki [[matematična konstanta|konstantama]]:

: <math>\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\#} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{210} + \frac{1}{210} + \frac{1}{210} + \frac{1}{210} + \frac{1}{2310} + \ldots = 0{,}9200509773161 \ldots \!\, ,  </math> {{OEIS|id=A249270}},

: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_{n}\#} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{30} + \frac{1}{210} + \frac{1}{2310} + \frac{1}{30030} + \frac{1}{510510} + \frac{1}{9699690} + \ldots = 0{,}7052301717918 \ldots \!\, ,  </math> {{OEIS|id=A064648}}.

== Pojava ==

[[Riemannova funkcija zeta|Riemannova funkcija &zeta;]] za pozitivna cela števila večja od 1 se lahko izrazi s pomočjo primoriel in [[Jordanova funkcija|Jordanovo funkcijo]] <math>J_{k}(n)\, </math> kot:<ref name=mezo>{{sktxt|Mező|2013}}.</ref>

: <math> \zeta (k)=\frac{2^{k}}{2^{k}-1}+\sum_{r=2}^{\infty}\frac{(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)},\qquad ( k=2,3,\dots ) \!\, . </math>

== Razpredelnica prvih primoriel ==

{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
! <math>n\, </math>
! <math>n \# \, </math>
! <math>p_{n}\, </math>
! <math>p_{n} \# \, </math>
|-
| 0
| 1
| brez praštevila
| [[prazni produkt|1]]
|-
| 1
| 1
| 2
| 2
|-
| 2
| 2
| 3
| 6
|-
| 3
| 6
| 5
| 30
|-
| 4
| 6
| 7
| 210
|-
| 5
| 30
| 11
| 2310
|-
| 6
| 30
| 13
| 30030
|-
| 7
| 210
| 17
| 510510
|-
| 8
| 210
| 19
| 9699690
|-
| 9
| 210
| 23
| 223092870
|-
| 10
| 210
| 29
| 6469693230
|-
| 11
| 2310
| 31
| 200560490130
|-
| 12
| 2310
| 37
| 7420738134810
|-
| 13
| 30030
| 41
| 304250263527210
|-
| 14
| 30030
| 43
| 13082761331670030
|-
| 15
| 30030
| 47
| 614889782588491410
|-
| 16
| 30030
| 53
| 32589158477190044730
|-
| 17
| 510510
| 59
| 1922760350154212639070
|-
| 18
| 510510
| 61
| 117288381359406970983270
|-
| 19
| 9699690
| 67
| 7858321551080267055879090
|-
| 20
| 9699690
| 71
| 557940830126698960967415390
|}

== Neskončni verižni ulomek ==

Konstanti neskončnih [[verižni ulomek|verižnih ulomkov]] primoriel obeh vrst sta:

: <math> u_{n\#} = [0; 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310, 30030 \ldots] = {0},4624948254441 \ldots \!\, , </math>

: <math> u_{p\#} = [0; 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870 \ldots] = {0},4617346628934 \ldots \!\, . </math>

== Glej tudi ==

* [[Bonsejeva neenakost]]
* [[primorielno praštevilo]]
* [[fakultetni številski sistem]]
* [[kompozitoriela]]

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Dubner|first1= Harvey|authorlink1= Harvey Dubner|title= Factorial and primorial primes|journal= [[Journal of Recreational Mathematics|J. Recr. Math.]]|date= 1987|volume= 19|issue= |pages= 197–203|ref= harv}}
* {{citat|last1= Masser|first1= David William|authorlink1= David Masser|last2= Shiu|first2= P.|title= On sparsely totient numbers|journal= [[Pac. J. Math.]]|volume= 121|issue= 2|pages= 407–426|year= 1986|issn= 0030-8730|zbl= 0538.10006|url= http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702441|mr= 819198|ref= harv}}
* {{citat|last1= Mező|first1= István|title= The Primorial and the Riemann zeta function|journal= [[The American Mathematical Monthly]]|volume= 120|volume= 120|issue= 4|pages= 321|year= 2013|ref= harv}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=Primorial|title=Primorial}}

{{-}}

{{zaporedja in vrste}}

[[Kategorija:Celoštevilska zaporedja]]
[[Kategorija:Praštevila]]