Ogled vira Praštevilo

{{razredi deljivosti}}
'''Práštevílo''' je [[naravno število]] ''n'' > 1, če ima točno dva [[pozitivno število|pozitivna]] [[delitelj]]a ([[faktor]]ja), [[število]] 1 in samega sebe kot edini [[prafaktor]]. Pri tem je 1 edini ''[[pravi delitelj]]'' tega števila. Po definiciji število 1 ne more biti praštevilo, saj sta tukaj oba 'njegova' pozitivna delitelja v bistvu enaka (faktor in prafaktor) in celo enaka številu samemu. Zato praštevilo tudi nima faktorjev. Število 2 je po definiciji edino praštevilo, ki je tudi [[zelo sestavljeno število]] in hkrati edino [[sodo število|sodo]] praštevilo.

Množica prvih 25 pozitivnih praštevil je {{OEIS|id=A000040}}:

: '''P'''<sub>25</sub> = { [[2 (število)|2]], [[3 (število)|3]], [[5 (število)|5]], [[7 (število)|7]], [[11 (število)|11]], [[13 (število)|13]], [[17 (število)|17]], [[19 (število)|19]], [[23 (število)|23]], [[29 (število)|29]], [[31 (število)|31]], [[37 (število)|37]], [[41 (število)|41]], [[43 (število)|43]], [[47 (število)|47]], [[53 (število)|53]], [[59 (število)|59]], [[61 (število)|61]], [[67 (število)|67]], [[71 (število)|71]], [[73 (število)|73]], [[79 (število)|79]], [[83 (število)|83]], [[89 (število)|89]], [[97 (število)|97]] }.

To je ena od definicij.

Celo število večje od 1, ki ni praštevilo, je ''[[sestavljeno število]]''. Število 1 tudi ni sestavljeno število.

== Predstavitev naravnih števil ==

Pomemben [[rezultat]] je [[osnovni izrek aritmetike]], po katerem lahko vsako naravno število zapišemo kot produkt praštevil na točno en način. S tem so praštevila »osnovni gradniki« naravnih števil. Lahko, na primer zapišemo:

: 23244 = 2<sup>2</sup> · 3 · 13 · 149.

== Množica praštevil ==

Obstaja neskončno mnogo praštevil. Najstarejši dokaz za to je podal grški matematik [[Evklid]]:

: Privzemimo, da obstaja samo končno mnogo praštevil. Če zmnožimo vsa praštevila med seboj in prištejemo 1, bo imelo dobljeno število, pri deljenju s poljubnih praštevilom ostanek 1. Zatorej, ga ne moremo deliti s poljubnim praštevilom. To je protislovje, in tako mora biti zgornji privzetek, da obstaja samo končno mnogo praštevil, napačen.

Veliko matematikov je podalo svoje dokaze o številu praštevil, na primer [[Ernst Eduard Kummer|Kummer]], verjetno najbolj elegantnega, in Furstenberg s [[topologija|topološkimi]] prijemi.

Čeprav je skupno število praštevil [[neskončnost|neskončno]], je še vedno veliko zanimivih vprašanj v zvezi z njimi. Na takšna in podobna vprašanja odgovarja [[praštevilski izrek]].

Največje znano praštevilo (GIMPS, Missouri, september 2015) je [[Mersennovo število]]:

: <math> p=2^{47,207,281}-1 \!\, . </math>

== Struktura praštevil ==

Znane in opredeljene so vsaj tri strukture v porazdelitvi praštevil:<ref>{{sktxt|Batchko|2014}}.</ref>
* lokalna (vključuje razrede ostankov in [[aritmetično zaporedje|aritmetična zaporedja]]). [[Eratostenovo sito]] je na primer po [[Terence Tao|Tau]] enakovredno »eliminiranju lokalne informacije na drugem mestu.«
* asimptotična (posledica [[praštevilski izrek|praštevilskega izreka]])
* statistična (sploh v povezavi z [[rekurzija|rekurzivno]] definiranimi praštevili ([[superpraštevilo|superpraštevili]]))
Tao je leta 2006 uvedel domnevno četrto strukturo, imenovano eksotična, po kateri naj bi za praštevila veljala kakšna eksotična struktura, ki je ne predvideva [[Cramérjeva domneva|Cramérjev naključni model]], in bi lahko bila nepričakovano gosta na kakšni strukturirani množici. Ker se ne ve ali imajo praštevila kakšno dodatno eksotično strukturo, ni bilo moč rešiti mnogo [[nerešeni matematični problemi|problemov]] o praštevilih. V Cramérjevem modelu je [[verjetnost]] <math>P\, </math>, da je v intervalu <math>[n + n \log n]\, </math> ''k'' praštevil, enaka:

: <math> P = \frac{\lambda^{k}}{e^{\lambda} k!} \!\, , </math>

kar je [[Poissonova porazdelitev|Poissonova verjetnostna porazdelitev]].

== Neskončni verižni ulomek ==

[[matematična konstanta|Konstanta]] neskončnega [[verižni ulomek|verižnega ulomka]] za praštevila je:<ref>{{sktxt|Wolf|2010}}.</ref>

: <math> u = [0; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, \ldots] = 0,432332087185 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A084255}}.

== Glej tudi ==

* [[Čenovo praštevilo]]
* [[Fermatovo praštevilo|Fermatova praštevila]]
* [[Gaussovo praštevilo]]
* [[Higgsovo praštevilo]]
* [[popolno število|popolna števila]]
* [[regularno praštevilo]]
* [[polpraštevilo]]
* [[praštevilska vrzel]]
* [[praštevilski dvojček]]
* [[število praštevil]]
* [[verjetno praštevilo]]
* [[tabela prafaktorjev števil]]
* [[Eratostenovo sito]]

== Sklici ==

{{sklici|1}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Batchko|first1= Robert G.|authorlink1= |title= A prime fractal and global quasi-self-similar structure in the distribution of prime-indexed primes|url= http://arxiv.org/abs/1405.2900|date= 2014-05-17|accessdate= 2014-11-10|language= en|arxiv= 1405.2900|ref= harv}}
* {{citat|last1= Wolf|first1= Marek|authorlink1= Marek Wolf|title= Continued fractions constructed from prime numbers|date= 2010|arxiv= 1003.4015|ref= harv}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==
{{Wikislovar|praštevilo|Praštevilo}}
* [http://www.utm.edu/research/primes/ Chris K. Caldwell: »Praštevilske strani«] {{ikona en}}
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php/Illegal.html Chris K. Caldwell: »Nelegalno praštevilo«] {{ikona en}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Prime_numbers.html J. O'Connor and E. F. Robertson: »MacTutorjeva zgodovina o praštevilih«] {{ikona en}}
* {{MathWorld|urlname=PrimeNumber|title=Prime Number}}

{{-}}

{{števila}}

[[Kategorija:Praštevila| ]]
{{normativna kontrola}}