Ogled vira Porazdelitev hi-kvadrat

{| align=right class="toccolours" style="margin-left: 40px; text-align:center; background: #FFFFFF; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" border="2" cellpadding="1" cellspacing="0"
! bgcolor=#ccccff colspan="3" | '''Porazdelitev hi-kvadrat''' 
|-align="center"
| colspan="3"| [[Slika:Chi-square distributionPDF sl.png|325px|thumb|center|325px|[[Funkcija gostote verjetnosti]] za hi-kvadrat porazdelitev.]] 
|-align="center"
| colspan="3" | [[Slika:Chi-square distributionCDF sl.png|325px|thumb|center |325px|[[Zbirna funkcija verjetnosti]] za hi-kvadrat porazdelitev.]]
|-colspan="2"
|-align="center"
| oznaka || <math>\chi^2(k)\,</math>||
|-align="center"
| [[parameter|parametri]] || ''k'' ∈ '''N'''<sub>1</sub> — [[prostostna stopnja (statistika)|prostostne stopnje]]
|-align="center"
| [[interval]] || ''x'' ∈ [0, +∞)
|-align="center"
| [[funkcija gostote verjetnosti]] </br> (pdf) || <math>\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\; x^{k/2-1} e^{-x/2}\,</math>
|-align="center"
| [[zbirna funkcija verjetnosti]] </br> (cdf)|| <math>\frac{1}{\Gamma(k/2)}\;\gamma(k/2,\,x/2)</math>
|-align="center"
| [[pričakovana vrednost]]  ||  <math>k\,</math>
|-align="center"
| [[mediana]]  || <math>\approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3</math>
|-align="center"
| [[modus (statistika)|modus]]  || max{ ''k'' − 2, 0 }
|-align="center"
|  [[varianca]]  || <math>2{k}\!</math>
|-align="center"
 | [[koeficient simetrije|simetrija]] || <math>\scriptstyle\sqrt{8/k}\,</math>
|-align="center"
 | [[sploščenost]]  || <math>\frac{12}{k}\!</math>
|-align="center"
 |  [[entropija (informatika)|entropija]] || <math>\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)</math>
|-align="center"
|  [[funkcija generiranja momentov]] </br>(mgf)    || <math>(1-2\,t)^{-k/2}</math> &nbsp; </br>za &#124; t &#124; ≤ ½
|-align="center"
|  [[karakteristična funkcija verjetnostne porazdelitve|karakteristična funkcija]] || <math>(1-2\,i\,t)^{-k/2}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <ref>{{navedi splet | url=http://www.planetmathematics.com/CentralChiDistr.pdf | title=Characteristic function of the central chi-square distribution | author=M.A. Sanders | accessdate=6. marca 2009}}</ref>
|-align="center"
|}

'''Porazdelitev hi-kvadrat''' je družina [[zvezna porazdelitev|zveznih]] [[verjetnostna porazdelitev|verjetnostnih porazdelitev]] vsot kvadratov neodvisnih [[normalna porazdelitev|normalno porazdeljenih]] [[slučajna spremenljivka|slučajnih spremenljivk]]. Porazdelitev hi-kvadrat se pogosto uporablja pri statističnem [[testiranje hipotez (statistika)|testiranju hipotez]] ali pri kreiranju [[interval zaupanja|intervalov zaupanja]].

Najbolj pogosto se porazdelitev  hi-kvadrat v uporablja pri [[hi-kvadrat test|testu hi-kvadrat]]. Porazdelitev hi-kvadrat je poseben primer [[porazdelitev gama|porazdelitve gama]].

== Definicija ==
Če so <math>X_1 \!</math>, <math>X_2 \!</math>, …..<math>X_k \!</math> neodvisne [[slučajna spremenljivka|slučajne spremenljivke]], ki so [[normalna porazdelitev|normalno porazdeljene]] s [[pričakovana vrednost|pričakovano vrednostjo]] 0 in [[varianca|varianco]] 1, potem je slučajna spremenljivka 
: <math> Q = \sum_{i=1}^k X_i^2 </math>

porazdeljena po porazdelitvi hi-kvadrat s ''k'' [[prostostna stopnja (statistika)|prostostnimi stopnjami]]. To zapišemo kot 
: <math>
    Q\ \sim\ \chi^2(k). \,
  </math>.

== Lastnosti ==
=== Funkcija gostote verjetnosti ===
[[Funkcija gostote verjetnosti]] za porazdelitev hi-kvadrat  je 
: <math>
    f(x;\,k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\, \mathbf{1}_{\{x\geq0\}},
  </math>

kjer je 
* <math> \Gamma(k/2) \!</math> [[funkcija gama]] 

== Zbirna funkcija verjetnosti ==
[[Zbirna funkcija verjetnosti]] je enaka 
: <math>
    F(x;\,k) = \frac{\gamma(k/2,\,x/2)}{\Gamma(k/2)} = P(k/2,\,x/2),
  </math>

kjer je 
* <math>\gamma(k/2,\,x/2) \!</math> spodnja nepopolna [[funkcija gama]].
* <math> P(k/2,\,x/2) \!</math> regulirana [[funkcija gama]].

Kadar je <math>k = 2\!</math>, dobi funkcija enostavnejšo obliko:
: <math>
    F(x;\,2) = 1 - e^{-\frac{x}{2}}.
  </math>.

=== Pričakovana vrednost ===
[[Pričakovana vrednost]] je enaka 
: <math>k\,</math>.

=== Varianca ===
[[Varianca]] je enaka 
: <math>2{k}\!</math> .

== Sploščenost ==
[[Sploščenost]] je enaka
: <math>\frac{12}{k}\!</math>

== Funkcija generiranja momentov ==
[[Funkcija generiranja momentov]] je 
<math>(1-2\,t)^{-k/2}\!</math> &nbsp; </br>za &#124; t &#124; ≤ ½

== Karakteristična funkcija ==
[[karakteristična funkcija verjetnostne porazdelitve|Karakteristična funkcija]] je 
<math>(1-2\,i\,t)^{-k/2}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

== Opombe in reference ==
{{opombe}}

== Povezave z drugimi porazdelitvami ==
* Če so <math>X_1 ,\ldots , X_n</math> neodvisne in [[normalna porazdelitev|normalno porazdeljene]] [[slučajna spremenljivka|slučajne spremenljivke]], da je <math>X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\; i=1,\ldots, n</math>, potem ima
: <math>Y = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2</math>
porazdeltev hi-kvadrat .
* Kadar je <math>\!n=2</math>, se porazdelitev hi-kvadrat iznenači z [[eksponentna porazdelitev|eksponentno porazdelitvijo]].
: <math> \chi^2(2) \equiv \mathrm{Exp}(1/2) \!</math>.
* Če velja <math>Y_1 \sim \chi^2(n_1) \!</math> in <math>Y_2 \sim \chi^2(n_2) \!</math>, potem ima slučajna spremenljivka
: <math>F = \frac{Y_1/n_1}{Y_2 / n_2}\!</math>
[[F porazdelitev|Fisherjevo porazdelitev]] s prostostnima stopnjama <math>\!(n_1,n_2) \!</math>.

== Zunanje povezave ==
* [http://stattrek.com/Lesson3/ChiSquare.aspx Opis porazdelitve] {{ikona en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Chi-SquaredDistribution.html opis porazdelitve na Mathworld] {{ikona en}}
* [http://onlinestatbook.com/chapter14/distribution.html Porazdelitev hi kvadrat]] {bikona en}}

== Glej tudi ==
* [[verjetnostna porazdelitev]]
* [[seznam verjetnostnih porazdelitev]]

{{DEFAULTSORT:Hi-kvadrat}}

[[Kategorija:Statistika]]
[[Kategorija:Verjetnostne porazdelitve]]
[[Kategorija:Zvezne porazdelitve]]