Ogled vira Plastično število

{| class="infobox bordered" cellpadding=5
| colspan="2" align="center" | {{iracionalna števila}}
|-
|[[dvojiški številski sistem|Dvojiško]]
| {{gaps|1,0101|0011|0010|0000|1011|...}}
|-
| [[desetiški številski sistem|Desetiško]]
| {{gaps|1,32471|79572|44746|02596|...}}
|-
| [[šestnajstiški številski sistem|Šestnajstiško]]
| {{gaps|1,5320|B74E|CA44|ADAC|1788|...}}
|-
| [[šestdesetiški številski sistem|Šestdesetiško]]
| 1; 19, 28, 59, 04, 43, 33, ...
|-
| [[Verižni ulomek]]
| {{nowrap|[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80, ...]}}<br />{{small|Verižni ulomek ni [[končni verižni ulomek|končen]] ali [[periodični verižni ulomek|periodičen]].}}
|-
| [[algebrsko število|Algebrska]] oblika
| <math>\frac{\sqrt[3]{108 + 12\sqrt{69}} + \sqrt[3]{108 - 12\sqrt{69}}}{6}</math>
|}
'''Plástično števílo''' (označba <math>\rho\, </math> ali <math>\psi\, </math>, tudi '''plástična konstánta''' ali '''minimálno Pisotovo števílo''') je v [[matematika|matematiki]] [[matematična konstanta|konstanta]], ki je edina [[realno število|realna]] rešitev [[kubična funkcija|kubične enačbe]]:

: <math> x^{3} - x - 1 = 0 \!\, . </math>

Točni [[algebrsko število|algebrski]] izraz konstante je:<ref name="mw">{{MathWorld|id=PlasticConstant|title=Plastic Constant|author=Piezas, Tito III; van Lamoen, Floor; [[Eric Wolfgang Weisstein|Weisstein, Eric Wolfgang]]}}</ref>

: <math> \rho = \frac{\sqrt[3]{108 + 12\sqrt{69}} + \sqrt[3]{108 - 12\sqrt{69}}}{6} \!\, . </math>

Njena vrednost na 65 [[desetiški številski sistem|desetiških]] mest je {{OEIS|id=A060006}}:

: {{gaps|1,32471|79572|44746|02596|09088|54478|09734|07344|04056|90173|33645|34015|05030...}}

Do sedaj so izračunali vsaj deset milijard desetiških števk (10{{e|9}}).<ref>{{navedi splet|last1= Komsta|first1= Lukasz|url= http://www.komsta.net/computations/|title= Computations page|date= |accessdate= |language=en}}</ref>

Plastično število se včasih imenuje tudi '''srebrno število''', vendar se to ime pogosteje rabi za [[srebrni rez]] <math>1 + \sqrt{2}\, </math>.

== Zgodovina ==

Ime ''plastično število'' ([[nizozemščina|nizozemsko]] ''het plastische getal'') je temu številu dal leta 1928 dom [[Hans van der Laan]]. Za razliko imen za [[zlati rez]] in srebrni rez beseda plastičen ni bila mišljena za kakšno posebno snov, ampak v njenem pridevniškem smislu za nekaj kar lahko dobi trirazsežno obliko.<ref>{{sktxt|Padovan|2002}}.</ref><ref>{{sktxt|Shannon|Anderson|Horadam|2006}}.</ref> Po [[Richard Padovan|Padovanu]] je to zato, ker sta značilni razmerji števila, <math>\tfrac{3}{4}\, </math> in <math>\tfrac{1}{7}\, </math>, povezani z mejami človeškega zaznavanja pri povezovanju ene fizične velikosti z drugo. [[Gérard Cordonnier|Cordonnier]] (1907–1977) ga je imenoval '''radiantno število''' ([[francoščina|francosko]] ''nombre radiant'').<ref name="Ravatin">{{sktxt|Ravatin|1999}}.</ref>

== Značilnosti ==

=== Rekurzije ===

Za potence plastičnega števila <math>A(n) = \rho^{n}\, </math> velja [[rekurzija|rekurenčna]] zveza <math>A(n) = A(n-2) + A(n-3)\, </math> za <math>n > 2\, </math>. Zaradi tega je limitno razmerje zaporednih členov poljubnega (neničelnega) [[celoštevilsko zaporedje|celoštevilskega]] [[zaporedje|zaporedja]], za katerega velja ta rekurzija, kot na primer [[Padovanovo zaporedje]] ali zaporedje [[Perrinovo število|Perrinovih števil]], in zanj velja podobna povezava s temi zaporedji kot velja za [[število zlatega reza]] do zaporedja [[Fibonaccijevo število|Fibonaccijevih števil]] ali srebrni rez do [[Pellovo število|Pellovih števil]].

Za plastično število velja rekurzija [[vgnezdeni radikal|vgnezdenega radikala]]:<ref name="mw" />

: <math> \rho = \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \cdots}}}} \!\, .</math>

=== Teorija števil ===

Ker je minimalni polinom plastičnega števila enak <math>x^{3} - x - 1 = 0\, </math>, je tudi rešitev [[polinom]]ske enačbe <math>p(x) = 0\, </math> za vsak polinom <math>p\, </math>, ki je [[mnogokratnik]] <math>x^{3} - x - 1\, </math> in ne za katerekoli druge polinome s celoštevilskimi koeficienti. Tako je tudi koren enačb, izpeljanih iz minimalnega polinoma:

: <math> x^{5} - x^{4} - 1 = 0 \!\, , </math>
: <math> x^{5} - x^{2} - x - 1 = 0 \!\, , </math>
: <math> x^{5} - x^{4} - x^{3} + x = 0 \!\, , </math>
: <math> x^{6} - x^{2} - 2x - 1 = 0 \!\, , </math>
: ...

Ker je [[diskriminanta]] minimalnega polinoma enaka −23, je njen delilni komutativni obseg v [[racionalno število|racionalnih številih]] enak <math>\Q(\sqrt{-23}, \rho)\, </math>. Ta obseg je tudi Hilbertov razredni komutativni obseg <math>\Q(\sqrt{-23})\, </math>.

Plastično število je najmanjše [[Pisot-Vidžajaraghavanovo število]]. Njegovi algebrski [[kompleksno število|konjugirani števili]] sta:

: <math> \left(-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}2i\right)\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}\sqrt{\tfrac{23}{3}}}+\left(-\tfrac12\mp\tfrac{\sqrt3}2i\right)\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}\sqrt{\tfrac{23}{3}}} \approx -0,662359 \pm 0,56228i \!\, , </math>

z [[absolutna vrednost|absolutno vrednostjo]]&nbsp;≈&nbsp;0,868837 {{OEIS|id=A191909}}. Ta vrednost je enaka tudi <math>\tfrac{1}{\sqrt{\rho}}\, </math>, ker je produkt treh korenov minimalnega polinoma enak 1.

=== Geometrija ===

Obstajata dva načina razdelitve [[kvadrat (geometrija)|kvadrata]] na tri [[podobnost (geometrija)|podobne]] [[trikotnik]]e. Prva je trivialna rešitev v kateri so trije [[skladnost (geometrija)|skladni]] trikotniki z razmerjem 1:3. V drugi rešitvi imajo vsi trije trikotniki različne velikosti, vendar so si podobni, kvadrat plastičnega števila pa je njihovo razmerje.<ref>{{sktxt|de Spinadel|Antonia|2009}}.</ref>

=== Trigonometrija ===

Plastično število se lahko zapiše s pomočjo [[hiperbolični kosinus|hiperboličnega kosinusa]] (<math>\operatorname{ch}\, </math>) in njegovega [[area funkcija|obrata]]:

: <math> \rho = \frac{1}{c} \operatorname{ch} \left(\frac{1}{3} \operatorname{arcosh} (3 c)\right), \qquad
c = \cos\left(\frac{2 \pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{2 \pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \!\, . </math>

=== Verižni ulomek ===

Plastično število ni [[kvadratno iracionalno število]] in zato njegov razvoj v neskončni [[verižni ulomek]] ni [[periodični verižni ulomek|periodičen]] {{OEIS|id=A072117}}:

: <math> \begin{align}
\rho &= 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{3 + \ddots}}}}} \equiv [1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80, 2, 5, 1, 2, 8, 2, 1, \ldots] \\
         &= \left\{ {\color{red}{1}}, \frac{3}{2}, {\color{red}{\frac{4}{3}}}, \frac{29}{22}, \frac{33}{25}, \frac{37}{28}, \frac{41}{31}, \frac{45}{34}, {\color{red}{\frac{49}{37}}}, {\color{red}{\frac{53}{40}}}, {\color{red}{\frac{102}{77}}}, \frac{257}{194}, {\color{red}{\frac{359}{271}}}, {\color{red}{\frac{820}{619}}}, \frac{1999}{1509}, {\color{red}{\frac{2819}{2128}}}, \frac{3639}{2747}, {\color{red}{\frac{6458}{4875}}}, \ldots, {\color{red}{\frac{28651}{21628}}}, \ldots \right\} \,\! . \end{align} </math>

[[Konvergent]]i verižnega ulomka so označeni z rdečo, njihovi števci so: 1, 4, 49, 53, 102, 359, 820, ..., imenovalci pa: 1, 3, 37, 40, 77, 271, 619, ... Drugi členi, označeni s črno, so [[polkonvergent]]i. Vrednost vsakega prvega polkonvergenta mora biti boljša od vrednosti predhodnega konvergenta.

== Glej tudi ==

* [[Vitruvijev modul]]
* [[srebrni rez]]
* [[zlati rez]]
* [[Pisot-Vidžajaraghavanovo število]]
* [[kovinska sredina]] (kovinsko število)

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Aarts|first1= Jan|last2= Fokkink|first2= Robbert|last3= Kruijtzer|first3= Godfried|title= Morphic numbers|journal= Nieuw Arch. Wiskd.|series= 5|volume= 2 |issue= 1|date= 2001|pages= 56–58|url= http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2001-02-1-056.pdf|ref= harv}}
* {{citat|last1= de Spinadel|first1= Vera Winitzky|authorlink1= Vera Winitzky de Spinadel|last2= Antonia|first2= Redondo Buitrago|title= Towards van der Laan’s plastic number in the plane|journal= [[Journal for Geometry and Graphics]]|volume= 13|issue= 2|date= 2009|pages= 163–175|url= http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg13/j13h2spin.pdf|ref= harv}}
* {{citat|last1= Gazalé|first1= Midhat Joseph|authorlink1= Midhat Joseph Gazalé|title= Gnomon: From Pharaohs to Fractals|date= 1999|publisher= Princeton University Press|isbn=978-0-691-00514-0|ref= harv}}
* {{citat|last1= Padovan|first1= Richard|authorlink1 = Richard Padovan|url= http://www.nexusjournal.com/conferences/N2002-Padovan.html|contribution= Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number|title= Nexus IV: Architecture and Mathematics|pages= 181–193|publisher= Kim Williams Books|date= 2002|ref= harv}}
* {{citat|last1= Ravatin|first1= Jacques|title= Au-delà du nombre d'or, le nombre radiant|journal= Revue d'Arkologie|date= 1999-06|volume= |issue= 18|url= http://www.arkologie.com/revues/livre_18.pdf|ref= harv}}
* {{citat|last1= Shannon|first1= Anthony Greville|last2= Anderson|first2= Peter G.|last3= Horadam|first3= Alwyn Francis|authorlink3= Alwyn Francis Horadam|title= Properties of Cordonnier, Perrin and Van der Laan numbers|journal= International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume= 37|issue= 7|date= 2006|pages= 825–831|doi= 10.1080/00207390600712554|ref= harv}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

{{kategorija v Zbirki|Plastic number|plastično število}}
* [[Ian Stewart (matematik)|Stewart, Ian]], [http://wayback.archive.org/web/20120320051231/http://members.fortunecity.com/templarser/padovan.html Tales of a Neglected Number] {{ikona en}}
* {{MathWorld|id=PlasticConstant|title=Plastic Constant|author=Piezas, Tito III; van Lamoen, Floor; [[Eric Wolfgang Weisstein|Weisstein, Eric Wolfgang]]}}

{{-}}

{{iracionalno število}}

{{DEFAULTSORT:Plastično število}}

[[Kategorija:Matematične konstante]]
[[Kategorija:Iracionalna števila]]
[[Kategorija:Algebrska števila]]