Ogled vira Ortogonalna matrika

'''Ortogonalna matrika''' (oznaka <math> Q \,</math>) je [[kvadratna matrika]] z [[realno število|realnimi]] elementi, katere vrstice in stolpci so medsebojno [[pravokotnost|pravokotni]] [[enotski vektor|enotski vektorji]] (ortonormalni vektorji). Ortogonalne matrike so realna oblika [[unitarna matrika|unitarnih matrik]]. Zaradi tega spadajo med [[normalna matrika|normalne matrike]].

Ortogonalna matrika je tista, ki pri množenju z [[transponirana matrika|transponirano matriko]] da [[enotska matrika|enotsko matriko]]. To lahko zapišemo kot 
:<math>AA^{T} = A^{T}A = I \,</math>. </br>
To je enakovredno 
:<math>\! A^{-1} = A^{T} \,</math>.

Množica ortogonalnih matrik z razsežnostjo <math> n \times n \,</math> tvori [[grupa|grupo]], ki jo označujemo z <math> O(n) \,</math>, in je znana kot [[ortogonalna grupa]]. Njena podgrupa <math> SO(n) \,</math>, ki jo sestavljajo ortogonalne matrike z [[determinanta|determinanto]] <math> +1 \,</math>, se imenuje ''specialna ortogonalna grupa'', njeni elementi pa '''specialne ortogonalne matrike'''.

== Primeri ==
* Identična preslikava
: <math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}</math> 

* Vrtenje za ≈ 16,26°
: <math>
\begin{bmatrix}
0,96 & -0,28 \\
0,28 & \;\;\,0,96 \\
\end{bmatrix}</math> 

* zrcaljenje preko osi x
: <math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix} \,</math>

* permutiranje koordinatnih osi
: <math>
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}</math>.

== Lastnosti ==
* Vrstice in stolpci ortogonalne matrike tvorijo sistem [[ortonormirani vektor|ortonormiranih vektorjev]]
:: <math>\! \sum_{i} A_{ij} A_{ik}=\delta_{jk}</math>
: in
:: <math>\! \sum_{i} A_{ji} A_{ki}=\delta_{jk}</math>
kjer je
** <math> i\in \{1,\;\ldots,\;n\}</math> red matrike
** <math> \delta_{jk} \,</math> [[Kroneckerjeva delta]]
* [[Determinanta]] ortogonalne matrike je enaka <math> \pm 1 \,</math>.

Najbolj preprosti sta ortogonalni matriki <math> 1 \times 1 \,</math> z obliko  <math>
\begin{bmatrix}
1 \\
\end{bmatrix}\,</math> 
in <math>
\begin{bmatrix}
- 1 \\
\end{bmatrix}\,</math> 
ki ju lahko pojasnimo kot identiteto in zrcaljenje realne [[premica|premice]] preko [[koordinatno izhodišče|izhodišča]].

Matrike <math> 2 \times 2 \,</math> imajo obliko
:<math>\begin{bmatrix}
p & t\\
q & u
\end{bmatrix},</math>
Zadoščajo pa pogojem
: <math>
\begin{align}
1 & = p^2+q^2, \\
1 & = t^2+u^2, \\
0 & = pt+qu.
\end{align}
</math>.

Če v prvo enačbo brez izgube splošnosti vstavimo <math> p= cos \theta \,</math> in <math> q = sin \theta \,</math>, potem je <math> t = -q \,</math> in <math> u = p \,</math> ali <math> t = q \,</math> in <math> u = -p \,</math>. Prvi primer lahko obravnavamo kot vrtenje za kot <math> \theta \,</math>, drugi primer pa kot zrcaljenje preko premice pod kotom <math> \theta /2 \,</math>.
:<math>
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\text{ (vrtenje), }\qquad
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & -\cos \theta \\
\end{bmatrix}\text{ (zrcaljenje)}
</math>.

Ne glede na razsežnost pa lahko ortogonalne matrike obravnavamo kot čisto vrtenje ali pa tudi ne, čeprav so nerotacijske matrike z večjo razsežnostjo lahko precej zapletene.
Na primer matrika
:<math>
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} \,</math>
predstavlja [[inverzija (matematika)|inverzijo]] preko [[koordinatno izhodišče|koordinatnega izhodišča]].

Matrika
: <math>
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}</math> 
pa pomeni vrtenje z inverzijo okoli [[aplikatna os|osi z]].

== Zunanje povezave ==
* [http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalMatrix.html Ortogonalna matrika na MathWorld] {{ikona en}}

[[Kategorija:Matrike]]