Ogled vira Odvod

[[Slika:Tangent to a curve.svg|thumb|200px|width=150|length=150|Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki.]]

'''Odvòd''' v [[matematika|matematiki]] predstavlja spremembo [[funkcija|funkcije]] pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno [[aproksimacija|aproksimacijo]] funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

== Diferenciacija in izpeljava ==

: <math>m={\mbox{sprememba v } y \over \mbox{sprememba v } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}</math>

== Definicija z diferenčnim količnikom ==

Naj bo <math>y = f(x)</math> funkcija <math>x</math>-a. 

: <math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.</math>

Ta izraz je [[Isaac Newton|Newtonov]] [[diferenčni kvocient]]. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je [[sekanta]] vedno bližje [[tangenta|tangenti]].

Formalno je odvod funkcije ''f'' od ''a'' enak [[limita|limiti]]:

: <math>f'(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over h}</math>

diferenčnega kvocienta ko se ''h'' približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija ''f'' odvedljiva v točki ''a''. Tu je ''f'(a)'' eden izmed zapisov odvoda ([[Odvod##Zapisovanje odvoda|glej tu]]).

=== Zveznost in odvedljivost ===

Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja

=== Odvod kot funkcija ===

=== Višji odvodi ===

== Zapisovanje odvoda ==
=== Leibnizev zapis ===
Zapis odvoda, ki ga je uvedel [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] je med najstarejšimi.

: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d \bigl(f(x)\bigr)}{dx},\;\;\mathrm{ali}\;\; \frac{d}{dx}\bigl(f(x)\bigr).</math>

Višje odvode zapišemo kot
: <math>\frac{d^ny}{dx^n},\quad \frac{d^n\bigl(f(x)\bigr)}{dx^n},\;\;\mathrm{ali}\;\;\frac{d^n}{dx^n}\bigl(f(x)\bigr)</math>
za ''n''-ti odvod funkcije ''y=f(x)''

=== Lagrangeev zapis ===
Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel [[Joseph-Louis de Lagrange]]. Za oznako je uporabil [[znak unča]]. Tako je diferencialni koeficient funkcije ''f(x)'' označen z ''f'(x)'' ali krajše ''f' ''.

=== Newtonov zapis ===
Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija ''y = f(t)'' odvisna od spremenljivke ''t'', njen odvod zapišemo
: <math>\dot y</math>

Newtonov zapis se uporablja predvsem v [[fizika|fiziki]], kjer je običajno s piko označen [[časovni odvod]], oziroma odvod po [[čas]]u.

=== Eulerjev zapis ===
[[Leonhard Euler|Eulerjev]] zapis uporablja diferencialni operator ''D'', ki ga predpostavimo funkciji ''f'' in dobimo prvi odvod ''Df''.

== Računanje odvoda ==
{{glavni|Tabela odvodov}}

=== Pravila za sestavljanje funkcij ===

* ''odvod vsote/razlike'':
:<math>(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\!\,</math>

* ''odvod produkta'':
:<math>(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,</math>

* ''odvod količnika'':
:<math>\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\!\,</math>

* ''odvod kompozituma'':
:<math>(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,</math>

=== Odvodi elementarnih funkcij ===

* ''odvod konstante'': če je ''f(x) = c'' (konstanta), potem
: <math>g'(x) = 0\,\!</math>

* ''odvod potence'': če je <math> f(x) = x^r\,</math>, kjer je ''r'' [[realno število]], potem
: <math> f'(x) = rx^{r-1}\,</math>,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko ''r'' ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana.
Na primer: če je ''r'' = 1/2, sledi <math> f'(x) = (1/2)x^{-1/2}\,</math>
in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost ''x''.

* ''odvod [[Eksponentna funkcija|eksponentne]] funkcije'': 
** Naravna eksponentna funkcija <math>f(x) = e^x\,\!</math> se pri odvajanju ne spremeni: <math> f'(x) = e^x\,\!</math>.
** V splošnem pa je odvod funkcije <math>f(x) = a^x\,\!</math> enak <math> f'(x) = a^x \ln a\,\!</math>.

* ''odvod [[logaritem]]ske funkcije'': 
** Naravna logaritemska funkcija <math>f(x)=\ln x\,\!</math> ima odvod <math> f'(x) = \frac{1}{x}</math>.
** V splošnem je odvod logaritemske funkcije <math>f(x)=\log_a x\,\!</math> enak <math> f'(x) = \frac{1}{x \ln a}</math>.

=== Odvodi trigonometrijskih funkcij ===


<math> (\sin x)' = \cos x\!</math>

<math> (\cos x)' = -\sin x\!</math>

<math> (\sin 2x)' = 2\cos 2x\!</math>

<math> (\cos 2x)' = -2\sin 2x\!</math>

<math> (\sin(nx))' = n\cos(nx)\!</math>

<math> (\sin^2x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x\!</math>

<math> (\cos^2x)' = -2\sin x \cos x = -\sin 2x\!</math>

<math> (\sin^nx)' = n \sin^{(n-1)}x \cos x\!</math>

<math> (\cos^nx)' = -n \sin x \cos^{(n-1)}x\!</math>

<math> (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2x}; \;  \cos x \neq 0</math>

<math> (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2x}; \; \sin x \neq 0</math>

<math>(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

<math>(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}</math>

== Odvodi drugih funkcij: ==

<math>(k)'=0</math>(k)' je konstanta

<math> (e^x)'=e^x</math>

<math>(\ln |x|)'=\frac{1}{x}</math>

<math> (a^x)'=a^x \ln a </math>

== Odvajanje v višjih razsežnostih ==

=== Odvajanje vektorskih funkcij ===

=== Parcialno odvajanje ===

=== Smerni odvod ===
Naj bo <math>n</math> skalarno polje in <math>\vec b</math> neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja <math>\vec b</math>.

Ogledamo si izraz
:<math>\lim_{h \to 0} \frac{u(x+hb_1, y+hb_2, z+hb_3) - u(x,y,z)}{h} = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b}</math>

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri <math>\vec b</math>
:<math>\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}h} = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}h} + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}y} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}h} + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}z} \frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}h}\,\!</math>

Sledi
:<math>\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b} = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} b_1 + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}y} b_2 + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}z} b_3</math>
::pri čemer je <math>\vec b</math> enotski vektor.

Torej
:<math>\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b} = \mbox{grad}\,u (b_1, b_2, b_3) = \mbox{grad}\, u\vec b,\qquad \vec b</math> enotski

: <math>\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b} = \mbox{grad}\, u \cdot \vec b</math>

=== Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial ===
Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov
primer za vpeljavo novih spremenljivk:
:<math>J = \begin{vmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w\end{vmatrix}</math>

== Posplošitve ==

== Glej tudi ==

* [[integral]]

== Zunanje povezave ==

* http://www.e-studij.si/Odvod
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en WIMS Function Calculator] makes online calculation of derivatives; this software also enables interactive exercises.
* [http://www.adiff.com ADIFF] online symbolic derivatives calculator.

{{sisterlinks|Odvod}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]
[[Kategorija:Infinitezimalni račun]]
{{normativna kontrola}}