Ogled vira Metrika FLRW

'''Métrika FLRW''' ('''Fridman-Lemaître-Robertson-Walkerjeva metrika''') je eksaktna rešitev [[Einsteinove enačbe polja|Einsteinovih relativističnih enačb polja]] v [[splošna teorija relativnosti|splošni teoriji relativnosti]]. Opisuje enostavno povezano, [[homogenost (fizika)|homogeno]], [[izotropija|izotropno]] [[širjenje Vesolja|širjajoče]] ali krčajoče se [[Vesolje]], [[povezanost|povezano po poti]], ne pa nujno [[enostavno povezani prostor|enostavno povezano]].{{efn|Za zgodnejše vire glej {{sktxt|Robertson|1935}}. Robertson ''privzema'' mnogokratno povezanost v primeru pozitivne ukrivljenosti in pravi »da še vedno lahko obudimo« enostavno povezanost.}}<ref name="LaLu95" /><ref name="Ellis98" /> Sama splošna oblika metrike sledi iz geometričnih značilnosti homogenosti in izotropnosti, Einsteinove enačbe polja so potrebne le za izpeljavo [[skalirni faktor (kozmologija)|skalirnega faktorja]] velikosti Vesolja kot funkcije časa. Metriko v različnih virih različno poimenujejo. Na primer: '''Fridman-Robertson-Walker (FRW)''', '''Robertson-Walker (RW)''', '''Fridman-Lemaître (FL)''' ali '''Fridman''' (F).{{efn|Zadnja še posebej v ruskih virih, kjer se imenuje tudi Fridmanovo Vesolje (Вселенная Фридмана).}} Ta [[fizikalni model|model]] se včasih imenuje ''standardni model'' sodobne [[fizikalna kozmologija|fizikalne kozmologije]],<ref name="berg_2006" /> čeprav je ta opis povezan tudi s kasnejšim razvojem [[model Lambda-CDM|modela ΛCDM]].

Metriko so neodvisno razvili [[Aleksander Aleksandrovič Fridman]], [[Georges Lemaître]], ter [[Howard Percy Robertson]] in [[Arthur Geoffrey Walker]] v 1920-ih in 1930-ih. Večina sodobne fizikalne kozmologije temelji na metriki FLRW, vsaj v prvem približku.<ref name="wein_2008" />

== Poimenovanje in zgodovina odkritja ==

Glavne rezultate je prvi izpeljal [[Aleksander Aleksandrovič Fridman]] leta 1922 in 1924.<ref name="frid_1922" /><ref name="frid_1924" /> Svoje rezultate je objavil v tedanji prestižni fizikalni reviji ''[[Zeitschrift für Physik]]'', vendar so ostali večinoma nezapaženi. Fridman je bil v stiku z [[Albert Einstein|Eisntein]]om, ki je v imenu revije deloval kot znanstveni razsodnik Fridmanovega dela. Sčasoma je Einstein priznal pravilnost Fridmanovih izračunov, ni pa cenil fizikalnega pomena Fridmanovih napovedi. Ker je Einstein v svojih enačbah polja prek [[kozmološka konstanta|Λ-člena]] zaradi nestabilnosti osnovnih rešitev gradil na stacionarnemu modelu Vesolja, so bili Fridmanovi rezultati zanj najprej celo oporečni. Verjetno prvega Fridmanovega članka niti ni prebral. Reviji je tudi poslal pritožbo, da so »rezultati v zvezi z nestacionarnim svetom sumljivi.« V resnici so bili pravilni in modeli so bili matematično veljavni. Po Einsteinovem strinjanju, da so Fridmanove dinamične rešitve sicer pravilne, je še naprej vztrajal pri tem, da so znanstveno nepomembne. Fridman je leta 1925 po hudi bolezni, verjetno tifusu, umrl v deliriju in ni mogel več resneje izpodbijati ukoreninjeno prepričanje o nespremenljivem Vesolju.<ref name="sing_2007" />{{rp|140}}

Fridmanovo delo o splošni teoriji relativnosti se na prvi pogled zdi mogoče prehitro. Pred tem je večinoma raziskoval na področju teoretične hidromehanike in dinamične meteorologije. Njegova prisvojitev splošne teorije relativnosti je bila zelo intenzivna in nadvse plodna. Skupaj s fizikom in geofizikom [[Vsevolod Konstantinovič Frederiks|Frederiksom]] (1885–1944) si je zadal osnovno delo »Osnove teorije relativnosti« v katerem je želel »dokaj strogo iz logičnega stališča« predstaviti osnove tenzorskega računa, mnogorazsežne geometrije, elektrodinamike, posebnega in splošnega načela relativnosti. Fridman je kot matematik odkrito priznal, da svojih modelov ne more dokazati: »Vse to naj zaenkrat velja kot zanimivost, ki je z nezadostnim astronomskim eksperimentalnim gradivom še ni mogoče zanesljivo podpreti.»<ref name="sing_2007" />{{rp|142}} Po [[Vladimir Aleksandrovič Fok|Fok]]u je v Fridmanovem pristopu k teoriji relativnosti prevladovala stroga matematična pot: »Fridman je večkrat dejal, da je njegovo početje nakazovanje možnih rešitev Einsteinovih enačb in nato naj fiziki počnejo s temi odločitvami kar želijo«.<ref name="fok_1963" />

Leta 1927 je [[Georges Lemaître]] neodvisno prišel do podobnih rezultatov kot Fridman in jih objavil v manj znani reviji ''Annales de la Société Stientifique de Bruxelles''. Ni poznal Fridmanovega dela. Einstein mu je na [[Solvayjeva konferenca|5. Solvayjevem kongresu]] v Bruslju povedal za Fridmanovo delo in tudi njegovo delo zavrnil kot fizikalno nesprejemljivo. [[Edwin Hubble|Hubble]] je leta 1929 eksperimentalno potrdil nestacionarnost Vesolja z odkritjem odvisnosti [[rdeči premik|rdečega premika]] [[galaksija|galaksij]] od njihove [[razdalja|razdalje]]. Lemaîtreovo delo so razen Einsteina drugi opazili, še posebej [[Arthur Stanley Eddington|Eddington]], in so med letoma 1930 in 1931 njegov članek prevedli v angleščino, ter ga objavili v reviji ''[[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]]''. Lemaître je šel še naprej od Fridmana in ugotovil, da splošna teorija relativnosti poleg nestacionarnosti Vesolja nakazuje tudi njegov nastanek. Poznal je proces [[radioaktivni razpad|radioaktivnega razpadanja]] in razmišljal, da se je v podobnem procesu – prarazpadu v veliko večjem merilu rodilo Vesolje. Začetno stanje je sam imenoval »prvobitni [[atom]]« – [[praatom]] in je s tem kot prvi podal opis modela [[prapok]]a.<ref name="sing_2007" />{{rp|145}} Pomislil je tudi, da so [[kozmični žarki]], ki jih zaznavajo, morda ostanki takšnega razpada, kar nakazuje tudi neko vrsto [[prasevanje|prasevanja]], vendar bi imelo precej drugačen fizikalni pomen.

[[Howard Percy Robertson]] in [[Arthur Geoffrey Walker]] sta problem raziskovala naprej v 1930-ih. Leta 1935 sta strogo dokazala, da je metrika FLRW edina na [[prostor-čas]]u, ki je prostorsko homogena in izotropna. To je geometrijski rezultat in ni zvezan posebej z enačbami splošne teorije relativnosti, ki sta jih vedno privzemala Fridman in Lemaître.

Ker sta dinamiko metrike FLRW izpeljala Fridman in Lemaître, znanstveniki zunaj ZDA velikokrat opuščajo imeni Robertsona in Walkerja. Na drugi strani ameriški fiziki velikokrat imenujejo metriko preprosto kar »Robertson–Walker«. Polno ime pa se rabi največkrat. Metrika se velikokrat imenuje Robertson-Walkerjeva, ker sta dokazala njene splošne značilnosti, in jo razlikujejo od Fridman-Lemaîtreovih modelov, posebnih rešitev za <math>a(t)\, </math>, ki privzemajo, da so edini prispevki [[napetostni tenzor|napetostno-energijskemu tenzorju]] za snov temna snov (»[[kozmični prah|prah]]«), [[sevanje]] in [[kozmološka konstanta]].

== Splošna metrika ==

Metrika FLRW privzema homogenost in izotropnost [[prostor]]a. Poleg tega privzema, da so lahko prostorske komponente časovno odvisne. Splošna metrika, za katero ti pogoji veljajo, je:

: <math> - c^{2} {\rm d}\tau^{2} = - c^{2} {\rm d}t^{2} + {a(t)}^{2} {\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} \!\, , </math>

kjer <math>\mathbf{\Sigma}\, </math> zajema [[razsežnost|trirazsežni]] prostor s konstantno ukrivljenostjo: [[eliptični prostor]], [[evklidski prostor]] ali [[hiperbolični prostor]]. Običajno se zapiše kot funkcija treh prostorskih koordinat. Prostorska metrika <math>{\rm d}\mathbf{\Sigma}\, </math> ni odvisna od ''t'', časovno odvisnost ima le [[skalirni faktor (kozmologija)|skalirni faktor]] ''a''(''t''), ki predstavlja relativno širjenje Vesolja:

: <math> a(t) = \frac{d(t)}{d_{0}} \!\, , </math>

kjer je <math>d(t)\, </math> prava razdalja dveh [[astronomsko telo|teles]] v poljubnem času <math>t\, </math>, <math>d_{0}\, </math> pa razdalja v sedanjem času <math>t_{0}\, </math>.<ref>{{sktxt|Schutz|2003|pp=[http://books.google.com/books?id=iEZNXvYwyNwC&lpg=PP1&pg=PA363#v=onepage&q&f=false 363]}}.</ref> S skalirnim faktorjem je določen [[Hubblov zakon]]:

: <math> \frac{{\rm d} d(t)}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d} a(t)}{{\rm d}t} \frac{1}{a(t)} d(t) = H d(t) \!\, , </math>

kjer je <math>H\, </math> [[Hubblov parameter]]. Skalirni faktor je uvedel Fridman, njegove oznake so tudi <math>R\, </math>, <math>r\, </math> ali <math>S\, </math>.

=== Polarne koordinate s skrčenim obsegom ===

V polarnih koordinatah s skrčenim obsegom <math>(r,\theta,\phi)</math> ima prostorska metrika obliko:

: <math> {\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} = \frac{{\rm d}r^{2}}{1-k r^{2}} + r^{2} {\rm d}\mathbf{\Omega}^{2}, \quad \text{pri } {\rm d}\mathbf{\Omega}^{2} = {\rm d}\theta^{2} + \sin^{2} \theta \, {\rm d}\phi^{2} \!\, . </math>

''k'' je [[fizikalna konstanta|konstanta]], ki predstavlja ukrivljenost prostora. Obstajata dva obča dogovora o enotah:
* ''k'' ima lahko enote [[dolžina|dolžine]] <math>{\rm L}^{-2}</math>, pri čemer ima ''r'' enoto dolžine, ''a''(''t'') pa je [[brezrazsežna količina|brez enot]]. ''k'' je potem [[Gaussova ukrivljenost]] prostora v času, ko je ''a''(''t'') = 1. ''r'' se včasih imenuje [[skrčeni obseg]], ker je enak merjenemu obsegu [[krog]]a (za to vrednost ''r''), s središčem v izhodišču, deljenemu z 2π (kot ''r'' v [[Schwarzschildove koordinate|Schwarzschildovih koordinatah]]). Velikokrat se izbere <math>a(t)=1</math> in velja za sedanji kozmološki čas, tako da <math>{\rm d}\mathbf{\Sigma}</math> meri [[sogibajoča razdalja|sogibajočo]] ali pravo razdaljo.
* ''k'' lahko zavzame vrednosti {−1,0,+1} (za negativno, ničelno ali pozitivno ukrivljenost). Potem je ''r'' brez enot, ''a''(''t'') pa ima enote dolžine. Ko je ''k'' = ±1, je ''a''(''t'') [[polmer ukrivljenosti]] prostora, lahko pa se zapiše tudi ''R''(''t'').

Slabost polarnih koordinat s skrčenim obsegom je v tem, da pokrivajo le polovico [[sfera|3-sfere]] v primeru obsegov pozitivnih ukrivljenosti. V eliptičnem prostoru, ko ima 3-sfera določeni nasprotni točki, tega problema ni.

=== Hipersferične koordinate ===

V ''hipersferičnih'' ali ''ukrivljenostno-normaliziranih'' koordinatah je koordinata ''r'' sorazmerna z radialno razdaljo, kar da:

: <math> {\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} = {\rm d}r^{2} + S_{k}(r)^{2} \, {\rm d}\mathbf{\Omega}^{2} \!\, , </math>

kjer je <math>{\rm d}\mathbf{\Omega}</math> enako kot prej,

: <math> S_{k}(r) =
\begin{cases}
\sqrt{k}^{\,-1} \sin (r \sqrt{k}), & k > 0 \\
r, &k = 0 \\
\sqrt{|k|}^{\,-1} \sinh (r \sqrt{|k|}), & k < 0.
\end{cases}
</math>

Enako kot prej je ''k'' lahko Gaussova ukrivljenost pri ''a''(''t'') = 1, ali je brezrazsežna količina iz množice {−1,0,+1}. Pri ''k'' = +1 je ''r'' dejansko tretji kot vzdolž z ''θ'' in ''φ''. Namesto ''r'' se lahko rabi tudi črka ''χ''.

Čeprav je ''S'' po navadi [[odsekoma določena funkcija|določena odsekoma]], je [[analitična funkcija]] od ''k'' in ''r''. Lahko se jo zapiše tudi kot [[potenčna vrsta|potenčno vrsto]]:

: <math>S_{k}(r) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} k^{n} r^{2n+1}}{(2n+1)!} = r - \frac{k r^{3}}{6} + \frac{k^{2} r^{5}}{120} - \cdots </math>

ali kot:

: <math> S_{k}(r) = r \; \operatorname {sinc} \, (r \sqrt{k}) \!\, , </math>

kjer je sinc nenormalizirana funkcija [[sinc]], <math>\sqrt{k}</math> pa kompleksni kvadratni koren iz ''k''. Te definicije veljajo za vse ''k''.

=== Kartezične koordinate ===

Pri <math>k = 0\, </math> se lahko zapiše preprosto:

: <math> {\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} = {\rm d}x^{2} + {\rm d}y^{2} + {\rm d}z^{2} \!\, . </math>

To se lahko razširi na ''k'' ≠ 0, če se definira:

: <math> x = r \cos \theta \!\, , </math>
: <math> y = r \sin \theta \cos \phi \!\, </math> in
: <math> z = r \sin \theta \sin \phi \!\, , </math>

kjer je ''r'' ena od radialnih koordinat definiranih zgoraj, vendar redko.

=== Ukrivljenost ===

==== Kartezične koordinate ====

V ravnem prostoru FRW (<math>k = 0\, </math>) so v kartezičnih koordinatah od nič različni elementi [[Riccijev tenzor|Riccijevega tenzorja]]:<ref name="wald_1984" />

: <math> R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a}, \quad R_{xx}= R_{yy} = R_{zz} = c^{-2} (a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2) \!\, ,</math>

[[Skalarna ukrivljenost]] (Riccijev skalar) pa je:
  
: <math> R = 6 c^{-2} \left(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}  +  \frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)}\right) \!\, . </math>

==== Krogelne koordinate ====

V splošnejšem prostoru FRW so v krogelnih koordinatah (imenvanih »polarne koordinate s skrčenim obsegom« zgoraj) so od nič različni elementi Riccijevega tenzorja:<ref>{{navedi splet|url=http://icc.ub.edu/~liciaverde/Cosmology.pdf|title= Cosmology|page= 23|date= |accessdate= |language= en}}</ref>

: <math> R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a} \!\, , </math>
: <math> R_{rr}=\frac{c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k}{1 - kr^2} \!\, , </math>
: <math> R_{\theta\theta} = r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k) \!\, ,</math>
: <math> R_{\phi\phi} =r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\sin^2(\theta) \!\, </math>
 
skalarna ukrivljenost pa je:

: <math> R =  6  \left(\frac{\ddot{a}(t)}{c^2 a(t)}  +  \frac{\dot{a}^2(t)}{c^2 a^2(t)} + \frac{k}{a^2(t)}\right) \!\, . </math>

== Opombe ==

{{notelist}}

== Sklici ==

{{sklici|3|refs=
<ref name="LaLu95"    >{{sktxt|Lachieze-Rey|Luminet|1995}}.</ref>
<ref name="Ellis98"   >{{sktxt|Ellis|van Elst|1999}}.</ref>
<ref name="berg_2006" >{{sktxt|Bergström|Goobar|2006|pp=61}}.</ref>
<ref name="wein_2008" >{{sktxt|Weinberg|2008|pp=1-2}}.</ref>
<ref name="frid_1922" >{{sktxt|Fridman|1922}}.</ref>
<ref name="frid_1924" >{{sktxt|Fridman|1924}}.</ref>
<ref name="sing_2007" >{{sktxt|Singh|2007}}.</ref>
<ref name="wald_1984" >{{sktxt|Wald|1984|p=97}}.</ref>
<ref name="fok_1963"  >{{sktxt|Fok|1963}}.</ref>

}}

== Viri ==

{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{citat|last1= Bergström|first1= Lars|last2= Goobar|first2= Ariel|date= 2006|title= Cosmology and Particle Astrophysics|url= http://books.google.com/books?id=CQYu_sutWAoC&pg=PA61|edition= 2.|publisher= [[Springer Science+Business Media|Sprint]]|isbn= 3540329242|ref= harv}}
* {{citat|last1= Burd|first1= Adrian|title= Inflation in open FLRW universes|url= http://www-modeling.marsci.uga.edu/Publications/1993_Burd_CQG_Open_Inflation.pdf|journal= Class. Quantum. Grav.|date= 1993|volume= 10|pages= 1495–1505|format= PDF|ref= harv}}
* {{citat|last1= Egan|first1= Chas|title= Derivation of the FLRW Equations|work= [[Univerza Novega Južnega Walesa]] (UNSW)|url= http://www.phys.unsw.edu.au/~chas/resources/my/FRWderiv.pdf|date= 2007|language= en|accessdate= 2010-10-11|ref= harv}}
* {{navedi konferenco|last1= Ellis|first1= George F. R.|authorlink1= George Francis Rayner Ellis|last2= van Elst|first2= Henk|date= 1999|title= Cosmological models (Cargèse lectures 1998)|editor-last1= Lachièze-Rey|editor-first1= Marc|booktitle= Theoretical and Observational Cosmology|series= NATO Science Series C|volume= 541|pages= 1–116|arxiv =gr-qc/9812046|bibcode= 1999toc..conf....1E|isbn= 978-0792359463|ref= harv}}
* {{citat|last1= Fok|first1= Vladimir Aleksandrovič|authorlink1= Vladimir Aleksandrovič Fok|title= Работы А. А. Фридмана по теории тяготения Эйнштейна|url= http://ufn.ru/ufn63/ufn63_7/Russian/r637b.pdf|accessdate= 2012-07-04|journal= [[Uspehi fizičeskih nauk|UFN]]|volume= LXXX|issue= 3|pages= 353–356|date= 1963|ref= harv}}
* {{citat|last1= Fridman|first1= Aleksander Aleksandrovič|authorlink1= Aleksander Aleksandrovič Fridman|title= Über die Krümmung des Raumes|date= 1922|journal= [[Zeitschrift für Physik|Z. Phys. A]]|volume= 10|issue= 1|pages= 377–386|issn= 0939-7922|doi= 10.1007/BF01332580|ref= harv}} (Angleški prevod v: {{navedi revijo|last1= Fridman|first1= A. A.|authorlink1= Aleksander Aleksandrovič Fridman|title= On the Curvature of Space|journal= General Relativity and Gravitation|volume= 31|issue= 12|date= 1999|pages= 1991–2000|url= http://adsabs.harvard.edu/abs/1999GReGr..31.1991F|bibcode= 1999GReGr..31.1991F|doi= 10.1023/A:1026751225741|ref= harv}})
* {{citat|last1= Fridman|first1= Aleksander Aleksandrovič|authorlink1= |title=Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes|date= 1924|journal= Z. Phys. A|volume= 21|pages= 326–332|issn= 0939-7922|doi= 10.1007/BF01328280|ref= harv}} (Angleški prevod v: {{navedi revijo|last1= Fridman|first1= A. A.|authorlink1= Aleksander Aleksandrovič Fridman|title= On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space|journal= General Relativity and Gravitation|volume= 31|issue= 12|date= 1999|pages= 2001–2008|url= http://adsabs.harvard.edu/abs/1999GReGr..31.2001F|bibcode= 1999GReGr..31.2001F|doi= 10.1023/A:1026755309811|ref= harv}})
* {{citat|last1= Gliner|first1= Erast Borisovič|authorlink1= Erast Borisovič Gliner|title= Раздувающаяся вселенная и вакуумоподобное состояние физической сред|journal= [[Uspehi fizičeskih nauk|UFN]]|date= 2002|volume= 172|issue= 2|pages= 221–228|url= http://www.ebiblioteka.lt/resursai/Uzsienio%20leidiniai/Uspechi_Fiz_Nauk/2002/02/r022e.pdf|format= PDF|doi= 10.3367/UFNr.0172.200202f.0221|ref= harv}}
* {{citat|last1= Harrison|first= E. R.|title= Classification of uniform cosmological models|date= 1967|journal= [[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]]|volume= 137|pages= 69–79|bibcode= 1967MNRAS.137...69H|doi= 10.1093/mnras/137.1.69|ref= harv}}
* {{citat|last1= d'Inverno|first1= Ray A.|authorlink1= Ray d'Inverno|title= Introducing Einstein's Relativity|location= Oxford|publisher= Oxford University Press|date= 1992|isbn= 0-19-859686-3|ref= harv}}. ''(Še posbej §23 za jasen in jedrnat uvod v modele FLRW.)''
* {{citat|last1= Lachieze-Rey|first1= M.|last2= Luminet|first2= J.-P.|date= 1995|journal= [[Physics Reports]]|title= Cosmic Topology|volume= 254|issue= 3|pages= 135–214|arxiv= gr-qc/9605010|doi= 10.1016/0370-1573(94)00085-H|bibcode= 1995PhR...254..135L|ref= harv}}
* {{citat|last1= Lemaître|first1= Georges|authorlink1= Georges Lemaître|title= Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulæ|date= 1931|journal= [[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]]|volume= 91|pages= 483–490|url= http://adsabs.harvard.edu/abs/1931MNRAS..91..483L|ref= harv}} (Angleški prevod iz: {{navedi revijo|last1= Lemaître|first1= G.|authorlink1= Georges Lemaître|title= Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques|date= 1927|journal= Annales de la Société Scientifique de Bruxelles|volume= A47|pages= 49–56|url= http://adsabs.harvard.edu/abs/1927ASSB...47...49L|ref= harv}})
* {{citat|last1= Lemaître|first1= Georges|authorlink1= |title= l’Univers en expansion|date= 1933|journal= Annales de la Société Scientifique de Bruxelles|volume= A53|pages= 51–85|ref= harv}}
* {{citat|last1= Linde|first1= Andrej Dimitrijevič|authorlink1= Andrej Dimitrijevič Linde|title= Lectures on Inflationary Cosmology|work= Stanford University preprint, SU–ITP–94–36|url= http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/9410/9410082v1.pdf|date= 1994|language= en|accessdate= 2010-10-11|arxiv= hep-th/9410082v1|ref= harv}}
* {{citat|last1= North|first1= J D|title= The Measure of the Universe - a history of modern cosmology|date= 1965|publisher= Oxford Univ. Press(Dover reprint 1990)|isbn= 0-486-66517-8|ref= harv}}
* {{citat|last1= Robertson|first1= Howard Percy|authorlink1= Howard Percy Robertson|date= 1935|title= Kinematics and world structure|journal= [[The Astrophysical Journal|Astrophysical Journal]]|volume= 82|pages= 248–301|url= http://adsabs.harvard.edu/abs/1935ApJ....82..284R |doi= 10.1086/143681|ref= harv}}
* {{citat|last1= Robertson|first1= Howard Percy|authorlink1= |date= 1936|title= Kinematics and world structure II|journal= [[The Astrophysical Journal|Astrophysical Journal]]|volume= 83|pages= 187–201|url= http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..187R&|doi= 10.1086/143716|ref= harv}}
* {{citat|last1= Robertson|first1= Howard Percy|authorlink1= |date= 1936|title= Kinematics and world structure III|journal= [[The Astrophysical Journal|Astrophysical Journal]]|volume= 83 |pages= 257–271|url= http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..257R&|doi= 10.1086/143726|ref= harv}}
* {{citat|last1= Schutz|first1= Bernard F.|title= Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity|publisher=Cambridge University Press|date= 2003|url= http://books.google.com/books?id=iEZNXvYwyNwC&lpg=PP1#v=onepage&q&f=false|isbn= 978-0521455060|ref= harv}}
* {{citat|last1= Singh|first1= Simon|authorlink1= Simon Singh|title= Veliki pok : najpomembnejše znanstveno odkritje vseh časov|trans_title= Big bang|date= 2007|publisher= Učila International|location= Tržič|cobiss= 234744832|isbn= 978-961-00-0316-8|ref= harv}}
* {{citat|last1= Wald|first1= Robert M.|title= General Relativity|date= 1984|location= Chicago ; London|publisher= The University of Chicago Press|cobiss= 86884|isbn= 9780226870335|ref= harv}}
* {{citat|last1= Walker|first1= Arthur Geoffrey|authorlink1= Arthur Geoffrey Walker|date= 1937|title= On Milne’s theory of world-structure|journal= [[Proceedings of the London Mathematical Society]] 2|volume= 42|pages= 90–127|doi= 10.1112/plms/s2-42.1.90|ref= harv}}<!-- http://plms.oxfordjournals.org/content/vols2-42/issue1/index.dtl (za dostop do članka je potrebna prijava) -->
* {{citat|last1= Weinberg|first1= Steven|authorlink1= Steven Weinberg|url= http://books.google.com/books?id=48C-ym2EmZkC&pg=PA3|title= Cosmology|publisher= Oxford University Press|date= 2008|isbn= 978-0-19-852682-7|cobiss= |ref= harv}}
{{refend}}

{{portal|astronomija|{{ispa}}}}

{{fizikalna škrbina}}

[[Kategorija:Kozmologija]]
[[Kategorija:Splošna teorija relativnosti]]