Ogled vira Matrika preslikave

'''Matrika preslikave''' (tudi '''transformacijska matrika''' ali matrika prehoda) je [[matrika]], ki predstavlja [[linearna transformacija|linearno transformacijo]] iz <math> R^n \,</math> v <math> R^m \,</math> tako, da velja 
:<math>T( \vec x ) = \mathbf{A} \vec x</math>
kjer je 
* <math> A \,</math> transformacijska matrika z razsežnostjo <math> m \times n \,</math>
* <math> \vec x \,</math> [[stolpični vektor]]  z <math> n \,</math> elementi
* <math> T \,</math> preslikava  [[vektor]]ja

Matrika pomeni prehod med dvema končno razsežnima [[vektorski prostor|vektorskima prostoroma]]. To je prehod iz [[baza (linearna algebra)|baze]] z [[vektor]]ji <math> \vec a_1, \cdots, \vec a_n \,</math>  v bazo <math> \vec b_1, \cdots, \vec b_n \,</math>
Včasih prikažejo transformacijsko matriko tudi z uporabo [[vrstični vektor|vrstičnega vektorja]] 

== Primeri v dvorazsežni grafiki ==
Najbolj pogoste geometrijske preslikave obdržijo stalno izhodišče. Med te preslikave prištevamo vrtenje, povečevanje in zmanjševanje, striženje, zrcaljenje in pravokotno projekcijo.

=== Vrtenje ===
Vrtenje za kot <math> \theta \,</math> v smeri, ki je nasprotna gibanju urinih kazalcev (glede na izhodišče) zapišemo v matrični obliki kot
: <math>
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &  -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
</math>
Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v nasprotni smeri urinih kazalcev: 
: <math>
\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
</math>
kjer je 
* <math> x' \,</math> koordinata x po vrtenju
* <math> x \,</math> koordinata x pred vrtenjem 
* <math> \theta \,</math> kot za katerega zavrtimo

Podobno je pri vrtenju v smeri gibanja urinih kazalcev
: <math>
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &  \sin\theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
</math>
Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v smeri urinih kazalcev: 
: <math>
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
</math>

=== Povečevanje in zmanjševanje ===
Povečevanje in zmanjševanje pomeni spremembo [[merilo|merila]] v katerem prikazujemo sliko.
Če označimo z <math> x' \,</math> in <math> y' \,</math> nove koordinate, potem velja
<math>x' = s_x \cdot x</math> in <math>y' = s_y \cdot y</math>

Matrika transformacije je
:<math>
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
</math>

Kadar velja tudi <math> s_x s_y = 1 \,</math> predstavlja matrika [[stiskanje (preslikava)|stiskanje]] (pri tem se ohranja površina).

Nekateri povečevanje in zmanjševanje imenujejo tudi [[skaliranje (geometrija)|skaliranje]] <ref>[http://www2.lecad.si/vaje/resitve/4.30/porocilo.html#Transformacijska%20matrika Transformacijska matrika]</ref>.

=== Striženje ===
[[Strig (geometrija)|Strig]] je podoben nagibanju slike. Možni sta dve obliki: Strig vzdolž [[ordinatna os|osi-y]] tako, da so nove koordinate <math> x' = x + ky \,</math> in <math> y' = y \,</math>. Pri tem je [[strižna matrika]] za [[stolpični vektor]] enaka
: <math>
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
</math>

Druga oblika pa je striženje vzdolž [[abscisna os|osi-x]]. Pri tem so nove koordinate <math>  x' = x \,</math> in <math> y' = y + kx \,</math>. Matrika pa ima obliko
:<math>
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
</math>

=== Zrcaljenje ===
Če zrcalimo preko [[premica|premice]], ki teče preko izhodišča in ima smer [[vektor]]ja <math> \vec l = (l_x, l_y) \,</math>, potem zrcaljenje opisuje matrika
: <math>
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 - 2 a^2  & - 2 a b & - 2 a c \\ - 2 a b  & 1 - 2 b^2 & - 2 b c  \\ - 2 a c & - 2 b c & 1 - 2c^2 \end{bmatrix} 
</math>

=== Pravokotna projekcija ===
Če hočemo izvesti projekcijo vektorja na premico, ki teče skozi izhodišče, naj bo <math>  \vec u = (u_x, u_y) \,</math>, potem je transformacijska matrika 
:<math>
\mathbf{A} = \frac{1}{\lVert\vec{u}\rVert^2} \begin{bmatrix} u_x^2 & u_x u_y \\ u_x u_y & u_y^2 \end{bmatrix}
</math>

== Opombe in sklici ==
{{opombe}}

== Glej tudi ==
* [[seznam vrst matrik]]

== Zunanje povezave ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html Transformacijska matrika na Mathworld] {{ikona en}}
* [http://www2.lecad.si/vaje/resitve/4.30/porocilo.html#Transformacijska%20matrika Transformacijska matrika] {{ikona sl}}
* [http://graph-srv.uni-mb.si/cgai/slo/RG_dokumenti/RA-Geometrijske%20transformacije.pdf Računalniška grafika] {{ikona sl}}

[[Kategorija:Linearna algebra]]
[[Kategorija:Matrike]]
[[Kategorija:Računalniška grafika]]