Ogled vira Legendrov simbol

'''Legendrov simból''' [ležándrov ~] je v [[teorija števil|teoriji števil]] [[matematični simbol|simbol]], ki se uporablja pri [[faktorizacija|faktorizaciji]] in [[kvadratni ostanek|kvadratnih ostankih]]. Simbol je uvedel [[Adrien-Marie Legendre]].

== Definicija ==

Legendrov simbol je poseben primer [[Jacobijev simbol|Jacobijevega simbola]]. Odvisen je od tega ali za dve [[celo število|celi števili]] ''p'' in ''a'' velja:

* <math> a \equiv 0 \pmod{p}</math> (oziroma ''p'' [[deljivost|deli]] ''a''), ali
* <math> a \equiv x^2 \pmod{p}</math> (oziroma ''a'' je kvadrat mod ''p'') ali
* <math> a \not\equiv x^2 \pmod{p}</math> (oziroma ''a'' ''ni'' kvadrat mod ''p'').

Če je ''p'' [[liho število|liho]] [[praštevilo]] in ''a'' celo število je Legendrov simbol:

: <math> \left( {a\over p}\right) = \left\{\begin{matrix} 
0;      &  p \vert a \\ 
1;      &  \mathrm{za \ tak \ } k \ \mathrm{da \ velja \ } k^{2} \equiv a\ (\mathrm{mod \ } p) \\
-1;     &  \mathrm{sicer} \end{matrix}\right. \!\, . </math>

Simbol se označuje tudi kot:

: <math>(a/p) \ \mathrm{ali \ } L(a,p) \!\, . </math>

== Značilnosti Legendrovega simbola ==

Legendrov simbol ima več uporabnih značilnosti, ki pospešijo računanje:
#<math>
\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)
</math> (je [[multiplikativna funkcija|popolnoma multiplikativna funkcija]] za zgornji argument)
#Če je ''a'' ≡ ''b'' (mod ''p''), potem velja <math>\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)</math>
#<math>\left(\frac{1}{p}\right) = 1</math>
#<math>
\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2}</math>, oziroma = 1, če je ''p'' ≡ 1 (mod 4) in = −1, če je ''p'' ≡ 3 (mod 4)
#<math>
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}</math>, oziroma = 1, če je ''p'' ≡ 1 ali 7 (mod 8) in = −1, če je ''p'' ≡ 3 ali 5 (mod 8)
#Za liho praštevilo ''q'' velja <math>\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{ ((p-1)/2) ((q-1)/2) }</math>

Zadnja značilnost je znana kot [[kvadratični reciprocitetni zakon]]. Značilnosti 4 in 5 sta tradicionalno znani kot ''dodatka'' h kvadratni recipročnosti. Dokazati ju je moč z [[Gaussova lema|Gaussovo lemo]].

Legendrov simbol je povezan z [[Eulerjev kriterij|Eulerjevim kriterijem]]. [[Leonhard Euler|Euler]] je dokazal, da velja:

: <math> \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2}\pmod p \!\, . </math>

Legendrov simbol je tudi [[Dirichletov karakter]].

== Sorodne funkcije ==

[[Jacobijev simbol]] je posplošitev Legendrovega simbola, ki dovoljuje sestavljena spodnja števila. S posplošitvijo je moč uspešno računati Legendrove simbole.

Druga posplošitev je [[Kroneckerjev simbol]].

[[Kategorija:Teorija števil]]
[[Kategorija:Adrien-Marie Legendre]]