Ogled vira Laplaceov operator

'''Laplaceov operátor''' [laplásov ~] (tudi '''laplasian''' in redkeje operator delta) je v [[vektorski račun|vektorskem računu]] [[skalar]]ni [[diferencialni operator]] [[skalarna funkcija|skalarne funkcije]] φ. Je enak [[vsota|vsoti]] vseh drugih [[parcialni odvod|parcialnih odvodov]] odvisne spremenljivke. 

To odgovarja [[divergenca|div]] ([[gradient|grad]] φ), zato tudi uporaba simbola [[del]] (operator [[nabla]]), ki ga predstavlja:

: <math> \nabla^{2} \phi = \nabla \cdot ( \nabla \phi ) \!\, . </math>

Zapiše se ga tudi z znakom Δ.

== Zapis v koordinatnih sistemih ==

V eno in dvorazsežnih [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnih koordinatah]] je Laplaceov operator:

: <math> \Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \; , \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \; . </math>

In v treh Σ(''x'', ''y'', ''z''):
: <math> \Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = 
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } \; . 
</math>

V trorazsežnih [[cilindrični koordinatni sistem|valjnih koordinatah]] Σ(''r'', φ, ''z'') je:

: <math> \nabla^2 t 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}
+ {\partial^2 t \over \partial z^2 } 
</math>

V trorazsežnih [[sferni koordinatni sistem|krogelnih koordinatah]] Σ(''r'', θ, φ) je:

: <math> \nabla^2 t 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial t \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}
</math>

Laplaceov operator se na primer pojavlja v [[Laplaceova enačba|Laplaceovi]], [[Poissonova enačba|Poissonovi]], [[Poisson-Boltzmannova enačba|Poisson-Boltzmannovi]], [[Helmholtzova enačba|Helmholtzovi]] ali [[valovna enačba|valovni enačbi]].

== Značilnosti ==

Laplaceov operator je [[linearnost|linearen]]:

: <math> \nabla^2 (f + g) = \nabla^2 f + \nabla^2 g \!\, . </math>

Velja tudi:

: <math>\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g) \!\, . </math>

== Posplošitve ==

Lapleceov operator na 0-formi se s [[posplošeni Laplaceov operator|posplošenim Laplaceovim operatorjem]] zapiše kot:

: <math>*\mathbf(d) \left( *\mathbf(d) f^{(0)} \right) \equiv \Delta f^{(0)} \!\, . </math><ref name="cadez_2011">{{sktxt|Čadež|2011|pp=158}}.</ref>{{rp|158}}

Laplaceov operator se lahko posploši na več drugih načinov. [[d'Alembertov operator]] (<math>\square \,</math>) je definiran na [[prostor Minkowskega|prostoru Minkowskega]]. [[Laplace-Beltramijev operator]] (<math>\Delta \, </math>) je eliptični diferencialni operator 2. reda na vsaki [[Riemannova mnogoterost|Riemannovi mnogoterosti]]. Laplace-Beltramijev operator na [[funkcija|funkciji]] je [[sled matrike|sled]] njene [[Hessova matrika|Hessove matrike]]:

: <math> \Delta f = \mathrm{sl}(H(f)) \!\, , </math>

kjer je sled vzeta glede na inverz [[metrični tenzor|metričnega tenzorja]]. Laplace-Beltramijev operator se lahko posploši tudi na operator (prav tako imenovan Laplace-Beltramijev operator), ki deluje na [[tenzorsko polje|tenzorska polja]] s podobnim obrazcem.

[[Laplace-de Rahmov operator]] deluje na prostore [[diferencialna forma|diferencilnih form]] na [[psevdoriemannova ploskev|psevdoriemannovih ploskvah]]. Z Laplace-Beltramijevim operatorjem je povezan prek [[Weitzenböckova identiteta|Weitzenböckove identitete]]. Laplace-de Rahmov operator je na Riemannovi mnogoterosti [[eliptični operator|eliptičen]], na [[Lorentzeva mnogoterost|Lorentzevi mnogoterosti]] pa [[hiperbolični operator|hiperboličen]]. Določen je kot:

: <math> \Delta= \mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d} = (\mathrm{d}+\delta)^{2} \!\, , </math>

kjer je d [[zunanji odvod]] ali diferencial, δ pa je [[kodiferencial]], ki deluje kot {{nowrap|1=(&minus;1)<sup>''kn''+''n''+1</sup>&lowast;''d''&lowast;}} na ''k''-forme, kjer je ∗ [[Hodgeov dual]], oziroma Hodgeov operator zvezdica.

Pri računanju Δƒ za skalarno funkcijo ƒ, je δƒ = 0, tako da velja:

: <math> \Delta f = \delta \, df \!\, . </math>

Do skupnega predznaka je Laplace-de Rhamov operator enakovreden definiciji Laplace-Beltramijevega operatorja, ko deluje na skalarno funkcijo. Na funkcijah je Laplace-de Rhamov operator dejansko negativ Laplace-Beltramijevega operatorja, saj običajna normalizacija kodiferenciala zagotavlja, da je Laplace-de Rhamov operator (formalno) pozitivno definiten, Laplace-Beltramijev operator pa je običajno negativen. Predznak je le dogovor, v virih se velikokrat pojavljata oba. Laplace-de Rhamov operator se precej razlikuje od tenzorskega Laplaceovega operatorja, ki je omejen na poševnosimetrične tenzorje. Poleg priložnostnega predznaka se operatorja razlikujeta z Weitzenböckovo identiteto, ki eksplicitno vsebuje [[Riccijev tenzor|Riccijev tenzor ukrivljenosti]].

== Sklici ==

{{sklici|1}}

== Viri ==

* {{citat|last= Čadež|first= Andrej|authorlink= Andrej Čadež|title= Teorija gravitacije|series= Matematika - fizika: zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij|volume= 49|date= 2011|publisher= DMFA - založništvo|location= Ljubljana|isbn= 978-961-212243-0|issn= 1408-1571|cobiss= 256557568|ref= harv}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]
[[Kategorija:Pierre-Simon Laplace]]