Ogled vira Hipergeometrična funkcija

{{avtoref|Članek govori o hipergeometrični funkciji (Gaussovi funkciji). Za funkcijo z enakim imenom glej [[Gaussova funkcija]].}}

(Gaussova ali navádna) '''hipergeométrična fúnkcija'''<ref name="stoecker_2006">{{sktxt|Stöcker|2006|loc=§18, str. 586}}.</ref>{{rp|586}} ali kar '''Gaussova fúnkcija''' <math>{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\, </math> je v [[matematika|matematiki]] [[specialna funkcija]], ki jo predstavlja '''hipergeométrična vŕsta'''. Kot posebne ali mejne primere vsebuje mnogo drugih specialnih funkcij. Je rešitev [[linearna funkcija|linearne]] [[navadna diferencialna enačba|navadne diferencialne enačbe]] 2. reda. Vsaka linearna navadna [[diferencialna enačba]] 2. reda s tremi [[regularna singularna točka|regularnimi singularnimi točkami]] se lahko transformira v to enačbo.

Sistematični seznami več tisoč objavljenih izrazov v zvezi s hipergeometričnimi funkcijami so npr. v različnih referenčnih delih.<ref>{{sktxt|Erdélyi|Magnus|Oberhettinger|Tricomi|1953}}.</ref><ref>{{sktxt|Abramowitz|Stegun|1965}}.</ref><ref>{{sktxt|Daalhuis|2010}}.</ref> Za organiziranje vseh izrazov ne obstaja znani sistem. Tudi ni znanega [[algoritem|algoritma]], ki bi tvoril vse izraze. Drugače obstaja več različnih algoritmov, ki tvorijo različne nize izrazov. Teorija algoritemskih odkritij izrazov ostaja dejavno raziskovalno področje.

== Zgodovina ==

Izraz »hipergeometrična vrsta« je prvi uporabil [[John Wallis]] leta [[1655 v znanosti|1655]] v svoji knjigi ''Neskončna aritmetika'' (''Arithmetica infinitorum''). Nanašal se je na vrsto, katere splošna formula členov ima obliko:<ref>{{sktxt|Scott|1981|p=16}}</ref>{{rp|16}}

: <math> \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n} \!\, . </math>

Hipergeometrične vrste je raziskoval [[Leonhard Euler]], prvi pa jih je celovito sistematično obravnaval [[Carl Friedrich Gauss]].<ref>{{sktxt|Gauss|1812}}.</ref>

V 19. stoletju jih je raziskoval [[Ernst Eduard Kummer]],<ref>{{sktxt|Kummer|1836}}.</ref> osnovno karakterizacijo hipergeometrične funkcije glede na diferencialno enačbo za katero velja je dal [[Bernhard Riemann]].<ref>{{sktxt|Riemann|1857}}.</ref>

Riemann je pokazal, da se lahko diferencialna enačba 2. reda <math>_{2}F_{1}(z)\, </math>, obravnavana na [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]], karakterizira (na [[Riemannova sfera|Riemannovi sferi]]) z njenimi tremi regularnimi [[matematična singularnost|singularnostmi]].

Primere, kjer so rešitve [[algebrska funkcija|algebrske funkcije]], je našel [[Hermann Amandus Schwarz]] ([[Schwarzev seznam]]).

== Hipergeometrična vrsta ==

Hipergeometrična funkcija je definirana za {{math|{{!}}''z''{{!}} < 1}} s [[potenčna vrsta|potenčno vrsto]]:

: <math>{}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!} \!\, . </math>

Je nedoločena (ali neskončna), če je ''c'' [[nepozitivno število|nepozitivno]] [[celo število]] (<math>c \le 0\,</math>). Tukaj je (''q'')<sub>''n''</sub> (rastoči) [[Pochhammerjev simbol]], definiran kot:

: <math> (q)_n = \begin{cases}   1   & n = 0 \\
  q(q+1) \cdots (q+n-1) & n > 0
 \end{cases} </math>

Vrsta je končna, če sta ''a'' ali ''b'' nepozitivni celi števili. Za [[kompleksno število|kompleksne]] argumente ''z'' z [[absolutna vrednost|absolutno vrednostjo]] |''z''|&nbsp;≥&nbsp;1 se lahko vrsta [[analitično nadaljevanje|analitično nadaljuje]] vzdolž poljubne poti na kompleksni ravnini, ki se izogiba [[vejišče]]ma 0 ali 1.

Ko gre {{math|''c'' → −''m''}}, kjer je {{math|''m''}} [[pozitivno število|pozitivno]] celo število, gre funkcija {{math|<sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>(''z'') → ∞}}. Če se deli s [[funkcija gama|funkcijo gama]] {{math|Γ(''c'')}}, obstaja [[limita funkcije|limita]]:

: <math> \lim_{c\to -m}\frac{{}_2F_1(a,b;c;z)}{\Gamma(c)}=\frac{(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}z^{m+1}{}_2F_1(a+m+1,b+m+1;m+2;z) \!\, . </math>

{{math|<sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>(''z'')}} je najobičajnejša vrsta [[posplošena hipergeometrična funkcija|posplošene hipergeometrične vrste]] {{math|''<sub>p</sub>F<sub>q</sub>''}}, in se velikokrat označi preprosto kot {{math|''F''(''z'')}}. Največkrat se pojavlja pri [[fizika]]lnih problemih.

== Posebni primeri ==

Veliko običajnih [[funkcija|funkcij]] se lahko izrazi s hipegeometričnimi funkcijami ali z njihovimi mejnimi primeri. Nekateri tipični zgledi so:

: <math> \ln(1+z) = z {}_2F_1(1,1;2;-z) \!\, </math>
: <math> e^{z} = {}_2F_1(1,a;1;a^{-1}z) = 1+ z {}_2F_1(1,a;2;a^{-1}z) = 1 + z + \tfrac{1}{2} z^{2} {}_2F_1(1,a;3;a^{-1}z) \ \hbox{itd.} \!\, </math>
: <math> (1-z)^{-a}  = {}_2F_1(a,1;1;z) \!\, </math>
: <math> \arcsin(z) = z {}_2F_1\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^{2}\right) \!\, . </math>

[[Konfluentna hipergeometrična funkcija]] (ali Kummerjeva funkcija) se lahko izrazi kot limita hipergeometrične funkcije:

: <math> M(a,c,z) = \lim_{b\to \infty}{}_2F_1(a,b;c;b^{-1}z) \!\, , </math>

tako da se lahko vse funkcije, ki so dejansko njeni posebni primeri, npr. [[Besslova funkcija|Besslove funkcije]], izrazijo kot limite hipergeometričnih funkcij. Med njimi so običajno rabljene funkcije [[matematična fizika|matematične fizike]].

[[Legendrova funkcija|Legendrove funkcije]] so rešitve diferencialne enačbe 2. reda s tremi regularnimi singularnimi točkami, tako da se lahko izrazijo s hipergeometričnimi funkcijami na več načinov. Na primer:

: <math> {}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac{c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z) \!\, . </math>

Več [[ortogonalni polinomi|ortogonalnih]] [[polinom]]ov, kot so npr. [[Jacobijevi polinomi]] ''P''{{su|p=(α,β)|b=''n''}} in njihovi posebni primeri: [[Legendrovi polinomi]], [[polinomi Čebišova]], [[Gegenbauerjevi polinomi]], se lahko zapiše s hipergeometričnimi funkcijami:

: <math> {}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x) \!\, . </math>

Drugi polinomi, ki so posebni primeri, so še: [[Kravčukovi polinomi]], [[Meixnerjevi polinomi]], [[Meixner-Pollaczekovi polinomi]].

[[invarianta j|Eliptične modularne funkcije]] se lahko včasih izrazijo kot [[obratna funkcija|obratne funkcije]] razmerij hipergeometričnih funkcij, katerih argumenti ''a'', ''b'', ''c'' so 1, 1/2, 1/3, ... ali 0. Na primer, če je:

: <math> \tau = {\rm{i}}\frac{{}_2F_1 \left (\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z \right )}{{}_2F_1 \left (\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z \right )} \!\, , </math>

potem je:

: <math> z = \kappa^2(\tau) = \frac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4} \!\, . </math>

eliptična modularna funkcija spremenljivke τ.

[[funkcija beta|Nepopopolne funkcije beta]] ''B''<sub>''x''</sub>(''p'',''q'') so povezane z:

: <math> B_x(p,q) = \tfrac{x^p}{p}{}_2F_1(p,1-q;p+1;x) \!\, . </math>

[[eliptični integral|Popolna eliptična integrala]] ''K'' in ''E'' sta dana z:

: <math> K(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right) \!\, </math>
: <math> E(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right) \!\, . </math>

== Hipergeometrična diferencialna enačba ==

Hipergeometrična funkcija je rešitev Eulerjeve '''hipergeometrične (diferencialne) enačbe''' ('''Gaussove diferencialne enačbe'''):

: <math> z(1-z)\frac {\mathrm{d}^{2}w}{\mathrm{d}z^{2}} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {\mathrm{d} w}{\mathrm{d}z} - abw = 0 \!\, , </math>

ki ima tri regularne singualrne točke: 0, 1 in ∞. Posplošitev te enačbe na tri poljubne regularne singularne točke je dana z [[Riemannova diferencialna enačba|Riemannovo diferencialno enačbo]]. Vsaka diferencialna enačba 2. reda s tremi regularnimi singularnimi točkami se lahko prevede na hipergeometrično diferencialno enačbo z zamenjavo spremenljivk.

=== Rešitve v singularnih točkah ===

Rešitve hipergeometrične diferencialne enačbe izhajajo iz hipergeometrične vrste <math>{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\, </math>. Enačba ima dve [[linearna neodvisnost|linearno neodvisni]] rešitvi. V vsaki od treh singularnih točkah 0, 1 in ∞ sta po navadi dve posebni rešitvi oblike <math>x^{s}\, </math> krat [[holomorfna funkcija]] <math>x\, </math>, kjer je <math>s\, </math> eden od dveh korenov enačbe, <math>x\, </math> pa je lokalna spremenljivka, enaka nič v regularni singularni točki. Tako obstaja 3&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;6 posebnih rešitev.

Okrog točke <math>z =0\, </math> sta dve neodvisni rešitvi, če ''c'' ni nepozitivno celo število:

: <math> {}_2F_1(a,b;c;z) \!\, </math>

in, ob pogoju, da ''c'' ni celo število:

: <math> z^{1-c} {}_2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z) \!\, . </math>

Če je <math>c\, </math> nepozitivno celo število <math>1-m\, </math>, potem prva od teh rešitev ne obstaja, in jo zamenja rešitev <math>z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z)\, </math>. Druga rešitev ne obstaja, če je <math>c\, </math> celo število večje od 1, in je enaka prvi rešitvi, ali njeni zamenjavi, če je <math>c\, </math> kakšno drugo celo število. Kada je <math>c\, </math> celo število, je treba za drugo rešitev vzeti bolj zapleteni izraz, enak prvi rešitvi pomnožen z <math>\ln z\, </math> plus druga vrsta v potencah <math>z\, </math>, ki vsebuje [[funkcija digama|funkcijo digama]]. Za podrobnosti glej <ref>{{sktxt|Abramowitz|Stegun|1965}}.</ref>.

Če <math>c - a - b\, </math> ni celo število, okrog točke <math>z = 1\, </math> obstajata dve neodvisni rešitvi:

: <math> {}_2F_1(a,b;1+a+b-c;1-z) \!\, </math>

in:

: <math> (1-z)^{c-a-b} {}_2F_1(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z) \!\, . </math>

Če <math>a - b\, </math> ni celo število, okrog točke <math>z = \infty\, </math> obstajata dve neodvisni rešitvi:

: <math> z^{-a} {}_2F_1 \left (a,1+a-c;1+a-b; z^{-1} \right) \!\, </math>

in:

: <math> z^{-b} {}_2F_1 \left (b,1+b-c;1+b-a; z^{-1} \right ) \!\, . </math>

Če ni pogojev integralnosti, obstajajo druge rešitve, ki so bolj zapletene.

Za vse 3 od zgornjih 6 rešitev velja linearna zveza, ker je prostor rešitev dvorazsežen, kar da ({{su|p=6|b=3}}) =&nbsp;20 linearnih zvez, ki se imenujejo '''povezavne formule'''.

=== Kummerjevih 24 rešitev ===

Fuchsovska enačba 2. reda z <math>n\, </math> singularnimi točkami ima [[grupa simetrije|grupo simetrij]], ki deluje projektivno na njene rešitve, izomorfne na [[Coxeterjeva grupa|Coxeterjevo grupo]] <math>D_{n}\, </math> reda <math>n! 2^{n-1}\, </math>. Za hipergeometrično enačbo <math>n = 3\, </math> je tako red grupe 24 in je izomorfna grupi simetrij na 4-ih točkah. Prvi jo je opisal Kummer. Izomorfizem s simetrično grupo je slučajen in nima analogona za več kot 3 singularne točke, tako da je včasih boljše misliti o grupi kot o razšitvi simetrične grupe na 3. točkah, ki deluje kot permutacije 3 singularnih točk s [[Kleinova štirikratna grupa|Kleinovo 4-grupo]], katere elementi spreminjajo predznake razlik eksponentov pri sodem številu singularnih točk. Kummerjevo grupo 24-ih transformacij dajo tri transformacije z rešitvijo <math>F(a,b;c;z)\, </math> ene od zvez:

: <math> (1-z)^{-a} F \left (a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1} \right ) \!\, </math>
: <math> F(a,b;1+a+b-c;1-z) \!\, </math>
: <math> (1-z)^{-b} F \left(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1} \right ) \!\, , </math>

kar odgovarja transpozicijam (12), (23) in (34) pod izomorfizmom s simetrično grupo na 4-ih točkah 1, 2, 3, 4. (Prva in tretja sta dejansko enaki <math>F(a,b;c;z)\, </math>, druga pa je neodvisna rešitev diferencialne enačbe).

24=6×4 Kummerjevih transformacij na hipergeometrično funkcijo da 6 = 2×3 rešitev, kar odgovarja vsakemu od dveh možnih eksponentov v vsaki od treh singularnih točkah, od katerih se vsak pojavi štirikrat zaradi zvez:

: <math> {}_2F_1(a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b} \, {}_2F_1(c-a,c-b;c;z) \ \ \ \text{Eulerjeva transformacija} \!\, </math>
: <math> {}_2F_1(a,b;c;z) = (1-z)^{-a} \, {}_2F_1(a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1})\ \ \ \text{Pfaffova transformacija} \!\, </math>
: <math> {}_2F_1(a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1})\ \ \ \text{Pfaffova transformacija} \!\, . </math>

=== Q-forma ===

Hipergeometrična diferencialna enačba se lahko prevede na Q-formo:

: <math> \frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d} z^{2}}+Q(z)u(z) = 0 \!\, </math>

s substitucijo <math>w = uv\, </math> in izločitvijo prvega člena z odvodom. Tako sledi:

: <math> Q=\frac{z^2[1-(a-b)^2] +z[2c(a+b-1)-4ab] +c(2-c)}{4z^2(1-z)^2}, </math>

<math>v\, </math> pa je dan z rešitvijo:

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}\log v(z) = - \frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)} =-\frac{c}{2z}-\frac{1+a+b-c}{2(z-1)} \!\, , </math>

kar je:

: <math> v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2} \!\, . </math>

Q-forma je pomembna v zvezi s [[Schwarzev odvod|Schwarzevim odvodom]].<ref>{{sktxt|Hille|1976|loc=§10, »The Schwarzian«, str. 374–401}}.</ref>

=== Schwarzeve trikotniške preslikave ===

'''Schwarzeve trikotniške preslikave''' ali '''Schwarzeve ''s''-funkcije''' so razmerja parov rešitev:

: <math> s_k(z) = \frac{\phi_k^{(1)}(z)}{\phi_k^{(0)}(z)} \!\, , </math>

kjer je ''k'' ena od točk 0, 1 ali ∞. Včasih se rabi tudi zapis:

: <math> D_k(\lambda,\mu,\nu;z)=s_k(z) \!\, . </math>

Koeficienti povezave so [[Möbiusova transformacija|Möbiusove transformacije]] na trikotniških preslikavah.

Vsaka trikotniška preslikava je regularna v ''z'' ∈ {0, 1, ∞}, kjer velja:

: <math> s_0(z)=z^\lambda (1+\mathcal{O}(z)) \!\, </math>
: <math> s_1(z)=(1-z)^\mu (1+\mathcal{O}(1-z)) \!\, </math>
in:
: <math> s_\infty(z)=z^\nu (1+\mathcal{O}(\tfrac{1}{z})) \!\, . </math>

V posebnih primerih, ko so λ, μ in ν realni, <math>\lambda \ge 0\, </math>, <math>\mu, \nu > 1\, </math>, so s-preslikave [[konformna preslikava|konformne preslikave]] [[zgornja polravnina|zgornje polravnine]] '''H''' k [[trikotnik]]om na [[Riemannova sfera|Riemannovi sferi]], omejene s krožnimi loki. Ta preslikava je posebni primer [[Schwarz-Christoffelova preslikava|Schwarz-Christoffelove preslikave]]. Singularne točke 0,1 in ∞ so preslikane v [[oglišče|oglišča]] trikotnika. Koti trikotnika so πλ, πμ in πν.

V primeru, ko je <math>\lambda = 1/p\, </math>, <math>\mu = 1/q\, </math> in <math>\nu = 1/r\, </math> za cela števila ''p'', ''q'', ''r'', trikotnik [[teselacija|pokrije]] sfero, s-preslikave pa so obratne funkcije [[avtomorfna funkcija|avtomorfnih funkcij]] za [[trikotniška grupa|trikotniško grupo]] <math><p, q, r > = \Delta(p, q, r)\, </math>.

=== Monodromijska grupa ===

[[Monodromija]] hipergeometrične enačbe opisuje kako se osnovne rešitve spremenijo, če se jih analitično nadaljuje akrog poti v ravnini ''z'', ki se vrnejo k isti točki. Kadar se pot vije okrog singularnosti <math>{}_{2}F_{1}\, </math>, se bodo rešitve v končni točki razlikovale od tistih v začetni točki.

Dve osnovni rešitvi hipergeometrične enačbe sta med seboj povezani z linearno transformacijo, tako da je monodromija preslikava ([[homomorfizem grupe]]):

: <math> \pi_1(\mathbf{C}\setminus\{0,1\},z_0) \to GL(2,\mathbf{C}) \!\, , </math>

kjer je <math>\pi_{1}\, </math> [[fundamentalna grupa]]. Monodromija je dvorazsežna linearna predstavitev fundamentalne grupe. [[Monodromijska grupa]] enačbe je slika te preslikave, oziroma grupa, ki jo tvorijo matrike monodromije.

== Integralske formule ==

=== Eulerjev tip ===

Če je B [[funkcija beta]], velja:

: <math> \operatorname{\Beta}(b,c-b){}_2F_1(a,b;c;z) = \int_{0}^{1} x^{b-1} (1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a} \, \mathrm{d} x \qquad \real(c) > \real(b) > 0 \!\, , </math>

kjer je <math>| z | < 1\, </math> ali <math>| z | = 1\, </math> in obe strani konvergirata. Izraz se lahko dokaže z razvojem <math>(1 - zx)^{-a}\, </math> s pomočjo [[binomski izrek|binomskega izreka]] in integracijo po členih. Izraz je podal Euler leta 1748 in obsega Eulerjeve in Pfaffove hipergeometrične transformacije.

Druge predstavitve, ki odgovarjajo drugim vejam, so dane z enakimi integrandi, pot integracije pa je sklenjena [[Pochhammerjeva kontura|Pochhammerjeva krožnica]], ki zapira singularnosti na različne načine. Takšne poti odgovarjajo monodromijski akciji.

=== Barnesov integral ===

[[Ernest William Barnes|Barnes]] je s pomočjo teorije o [[residuum (kompleksna analiza)|residuih]] izračunal [[Barnesov integral]]:

: <math> \frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)} (-z)^s \, \mathrm{d} s \!\, </math>

kot:

: <math> \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)}\,_2F_1(a,b;c;z) \!\, , </math>

kjer se kontura nariše, da ločuje pole 0, 1, 2... od polov −''a'', −''a''&nbsp;−&nbsp;1,&nbsp;..., −''b'', −''b''&nbsp;−&nbsp;1,&nbsp;...&nbsp;.

=== Johnova transformacija ===

Hipergeometrična funkcija se lahko zapiše kot [[rentgenska transformacija|Johnova transformacija]].<ref>{{sktxt|Gelfand|Gindikin|Graev|2003|loc=2.1.2}}</ref>

== Glej tudi ==

* [[osnovna hipergeometrična vrsta]]

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

* {{navedi knjigo|last1= Abramowitz|first1= Milton|authorlink1= Milton Abramowitz|last2= Stegun|first2= Irene Anne|authorlink2= Irene Anne Stegun|chapter= §5|title= [[Handbook of Mathematical Functions|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|edition= 9.|publisher= Dover|location= New York|pages= 555|year= 1972|isbn= 978-0486612720|mr= 0167642|url= http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_555.htm|ref= harv}}
* {{navedi knjigo|last1= Daalhuis|first1= Adri B. Olde|year= 2010|editor3-first= Ronald F.|editor3-last= Boisvert|editor4-first= Charles W.|editor4-last= Clark|editor2-last= Lozier|editor2-first= Daniel M.|editor1-first= Frank W. J.|editor1-last= Olver|editor1-link= Frank W. J. Olver|displayeditors= 4|chapter= 15|title= [[Digital Library of Mathematical Functions|NIST Handbook of Mathematical Functions]]|publisher= Cambridge University Press|isbn= 978-0521192255|mr= 2723248|url= http://dlmf.nist.gov/15|ref= harv}}
* {{navedi knjigo|last1= Erdélyi|first1= Arthur|author1-link= Arthur Erdélyi|last2= Magnus|first2= Wilhelm|author2-link= Wilhelm Magnus|last3= Oberhettinger|first3= Fritz|last4= Tricomi|first4= Francesco G.|title= Higher transcendental functions|volume= Vol. I|location= New York–Toronto–London|publisher= McGraw–Hill Book Company, Inc.|year= 1953|isbn= 978-0-89874-206-0|mr= 0058756|url= http://apps.nrbook.com/bateman/Vol1.pdf|ref= harv}}
* {{navedi revijo|last= Gauss|first= Carl Friedrich|authorlink= Carl Friedrich Gauss|title= Disquisitiones generales circa seriem infinitam &nbsp; <math> 1 + \tfrac {\alpha \beta} {1 \cdot \gamma} ~x + \tfrac {\alpha (\alpha+1) \beta (\beta+1)} {1 \cdot 2 \cdot \gamma (\gamma+1)} ~x~x + \mbox{etc.} </math>|language= latinščina|url= http://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ|location= Göttingen|journal= Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores|year= 1812|volume= 2|ref= harv}} (ponatis članka v [http://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ ''Carl Friedrich Gauss, Werke''], 1866, Bd. 3, str.&nbsp;123–163, 207–229)
* {{navedi knjigo|last1= Gelfand|first1= Izrail Mojisejevič|authorlink1= Izrail Mojisejevič Gelfand|last2= Gindikin|first2= S. G.|last3= Graev|first3= M. I.|title= Selected topics in integral geometry|origyear= 2000|url= http://books.google.com/books?isbn=0821829327|publisher= [[Ameriško matematično društvo]]|location= Providence, R.I.|series= Translations of Mathematical Monographs|year= 2003|volume= 220|isbn= 978-0-8218-2932-5|mr= 2000133|ref= harv}}
* {{navedi knjigo|last1= Hille|first1= Einar|year= 1976|title= Ordinary differential equations in the complex domain|publisher= Dover|isbn= 0-486-69620-0|ref= harv}}
* {{navedi revijo|last1= Kummer|first1= Ernst Eduard|authorlink= Ernst Eduard Kummer|title= Über die hypergeometrische Reihe&nbsp;<math> 1 + \tfrac {\alpha\cdot \beta} {1 \cdot \gamma} ~x + \tfrac {\alpha (\alpha+1) \beta (\beta+1)} {1 \cdot 2 \cdot \gamma (\gamma+1)} x^2 + \tfrac {\alpha (\alpha+1)(\alpha+2) \beta (\beta+1)(\beta+2)} {1 \cdot 2\cdot 3 \cdot \gamma (\gamma+1)(\gamma+2)} x^3 +\mbox{etc.} </math>|language=de|url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00214056X|journal= [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|year= 1836|volume= 15|pages= 39–83, 127–172|issn= 0075-4102|ref= harv}}
* {{navedi revijo|last1= Riemann|first1= Bernhard|authorlink1= Bernhard Riemann|year= 1857|title= Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe ''F(α, β, γ, x)'' darstellbaren Functionen|journal= Abhandlungen der Mathematicshen Classe der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen|volume= 7|pages= 3–22|publisher= Verlag der Dieterichschen Buchhandlung|location= Göttingen|url= http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002018691|ref= harv}} (ponatis članka v {{PDFlink|[http://www.emis.de/classics/Riemann/PFunct.pdf Vse Riemannove objave]}})
* {{navedi knjigo|last1 = Scott|first1= Joseph Frederick|title = The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703)|publisher= [[Ameriško matematično društvo]]|year= 1981|pages= 240|series= Chelsea Publishing Series|isbn= 9780828403146|ref= harv}}
* {{navedi knjigo|last1= Stöcker|first1= Horst|authorlink1= Horst Stöcker|title= Matematični priročnik z osnovami računalništva|year= 2006|publisher= [[Tehniška založba Slovenije]]|location= Ljubljana|isbn= 86-365-0587-9|cobiss= 229576192|ref= harv}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=HypergeometricFunction|title=Hypergeometric Function}}

{{-}}

{{zaporedja in vrste}}

{{math-stub}}

{{DEFAULTSORT:Hipergeometrična funkcija}}

[[Kategorija:Hipergeometrične funkcije| ]]
[[Kategorija:Navadne diferencialne enačbe]]
[[Kategorija:Matematične vrste]]
[[Kategorija:1655 v znanosti]]