Ogled vira Grupa

'''Grúpa''' je v [[matematika|matematiki]] eden od osnovnih pojmov [[abstraktna algebra|sodobne algebre]]. Grupe tvorijo temelj drugim [[matična struktura|algebrskim strukturam]], kot so [[obseg (algebra)|obsegi]] in [[vektorski prostor]]i, in so pomembne pri raziskovanju [[simetrija|simetrije]] v vseh njenih oblikah.

== Definicija ==

Grupa ''G'' = {''a'', ''b'', ...} je par (''G'', *), kjer je ''G'' neprazna [[množica]] in * [[asociativnost|asociativna]] [[dvočlena operacija]] na ''G'': ''G'' × ''G'' → ''G'', ki ga imenujemo ''operacija grupe'' in, ki vsakemu [[urejeni par|urejenemu paru]] (''a'', ''b'') <math>\in</math> ''G'' priredi natanko en element ''a'' * ''b'' <math>\in</math> ''G''. Operacija * mora zadoščati pogojem (»aksiomom grupe«):

* Za vsak ''a'', ''b'' <math>\in</math> ''G'', velja ''a'' * ''b'' <math>\in</math> ''G''. ([[zaprtost|Zakon o zaprtosti]]).
* Za vsak ''a'', ''b'' in ''c'' <math>\in</math> ''G'', velja (''a'' * ''b'') * ''c'' = ''a'' * (''b'' * ''c'') ([[zakon o združevanju faktorjev|Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)]]).
* V ''G'' obstaja takšen element ''e'', za katerega za vsak ''a'' <math>\in</math> ''G'' velja ''e'' * ''a'' = ''a'' * ''e'' = ''a'' ([[nevtralni element|Zakon o nevtralnem elementu (identiteti)]]).
* Za vsak ''a'' <math>\in</math> ''G'' obstaja takšen element ''b'' <math>\in</math> ''G'', za katerega velja ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a'' = ''e'' ([[obratni element|Zakon o obratnem elementu (inverzu)]]).

Prvi aksiom ni nujen, ker je dvočlena operacija že tudi sama zaprta. Kadar rečemo, da je * [[matematična operacija|operacija]] na grupi, nam ni potrebno pokazati, da je tudi zaprta. Po navadi znak * opustimo in pišemo ''a'' ''b'' za operacijo ''a'' * ''b''. Včasih uporabimo za operacijo znak +, še posebej, če je grupa [[Abelova grupa|Abelova]].

Iz teh aksiomov lahko izvedemo kar nekaj pomembnih posledic. Lahko, na primer, pokažemo, da ima grupa natanko en nevtralni element in, da za vsak element obstaja natanko en obratni element. Pokažimo, da ima vsak element grupe natančno en obratni element. Naj bo ''G'' poljubna grupa in ''a'' njen poljubni element. Recimo, da sta ''b'' in ''c'' obratna elementa ''a''. Dokazati moramo, da je ''b'' = ''c''. Ker sta ''b'' in ''c'' obratna elementa od ''a'', zadoščata zadnjemu aksiomu iz definicije grupe:

: ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a'' = ''e'',
: ''a'' * ''c'' = ''c'' * ''a'' = ''e''.

Ko uporabimo predzadnji aksiom na elementu ''b'', dobimo:

: ''b'' = ''e'' * ''b''.

Od tod sledi z uporabo enakosti ''a'' * ''c'' = ''c'' * ''a'' = ''e'':

: ''b'' = (''c'' * ''a'') * ''b''.

Z zakonom o združevanju faktorjev sedaj pridemo do:

: ''b'' = ''c'' * (''a'' * ''b'').

Od tod dobimo z uporabo enakosti ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a'' = ''e'':

: ''b'' = ''c'' * ''e''.

Če sedaj uporabimo zakon o nevtralnem elementu na elementu ''c'', dobimo:

: ''b'' = ''c''.
To smo hoteli dokazati. Lastnosti grup raziskuje [[osnovna teorija grup]]. Po navadi operacijo, karkoli že je, označimo z [[množenje]]m in pišemo ''a'' * ''b'' (ali kar ''a'' ''b'') za produkt ''a'' in ''b'', 1 za nevtralni element in ''a''<sup>−1</sup> za obratni element ''a''. V tem primeru rečemo, da je grupa zapisana ''multiplikativno''. Kdaj pa grupo zapišemo ''aditivno'' in pišemo ''a'' + ''b'' za vsoto ''a'' in ''b'', 0 za nevtralni element in ''-a'' za obratni element ''a''.

Grupa je '''Abelova''', če je operacija * [[komutativnost|komutativna]], oziroma, če za vsak ''a'', ''b'' <math>\in</math> ''G'', velja ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a''. (V tem primeru grupo velikokrat zapišemo aditivno, ne pa vedno.)

Grupa je '''končna''', če ima končno število elementov. V tem primeru je '''moč''' grupe, označena z |''G''| ali z o(''G''), število elementov in je enaka [[kardinalno število|kardinalnemu številu]] množice ''G''.

== Osnovni primeri ==

=== Cela števila ===

Grupa, ki jo spoznamo v osnovni šoli je množica [[celo število|celih števil]] '''Z''' pod seštevanjem. Naj je '''Z''' množica celih števil {...,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6...} in naj znak + kaže na operacijo seštevanja. Potem je par ('''Z''',+) grupa zapisana aditivno.

Dokaz:
# Če sta ''a'' in ''b'' celi števili, potem je ''a'' + ''b'' celo število (Zakon o zaprtosti).
# Če so ''a'', ''b'' in ''c'' cela števila, potem velja (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'') (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)).
# Število 0 je celo število. Za vsako celo število ''a'' velja 0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a'' (Zakon o nevtralnem elementu).
# Če je ''a'' celo število, potem obstaja celo število ''b'' = ''-a'', za katerega velja ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' = 0. (Zakon o obratnem elementu).

=== Cela števila z množenjem? ===

Imejmo kakor zgoraj množico celih števil '''Z''' in operacijo množenja, označeno z *. Ali je par ('''Z''',*) grupa?

# Če sta ''a'' in ''b'' celi števili, potem je ''a'' * ''b'' celo število (Zakon o zaprtosti).
# Če so ''a'', ''b'' in ''c'' cela števila, potem velja (''a'' * ''b'') * ''c'' = ''a'' * (''b'' * ''c'') (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)).
# Nevtralni element je število 1, saj velja a * 1 = 1 * a = a za vsako celo število a.
# V množici Z ne obstaja tako število ''b'', da velja ''a''*''b'' = ''b''*''a'' = 1, razen za ''a''= 1 in -1. Ker vsak element nima svojega inverznega elementa, množica celih števil ni grupa za množenje.

=== Racionalna števila z množenjem? ===

Imejmo množico racionalnih števil '''Q''', to je takšno množico števil ''a''/''b'', v kateri so ''a'' in ''b'' cela števila in ''b'' ≠ 0, ter operacijo množenja, označeno z *. Ali je par ('''Q''',*) grupa? Ne. Racionalno število 0 pripada množici '''Q''' vendar nima multiplikativnega obratnega elementa. Kakor ('''Z''',*) je tudi ('''Q''',*) polgrupa(asociativen grupoid) in ni grupa.

Če privzamemo, da sta ''a'' ≠ 0 in ''b'' ≠ 0,  množica ne vsebuje števila 0 in jo označimo z '''Q'''\{0}). V tem primeru par ('''Q'''\{0},*) tvori grupo. Obratni element ''a''/''b'' je ''b''/''a''. Lahko enostavno preverimo tudi druge aksiome.

=== Premiki ravnine ===

''Premik'' (''translacija'') ravnine je [[togi premik]] vsake točke ravnine v določeni smeri za določeno razdaljo. Primer takšnega premika ravnine je gibanje v severovzhodni smeri za 2&nbsp;km. Če imamo dva takšna premika ''a'' in ''b'', ju lahko sestavimo v nov premik ''a'' <sup>o</sup> ''b'', kot sledi: najprej sledimo predpisu ''b'' in nato ''a''. V tem primeru je ''a'' gibanje v severovzhodni smeri za 2&nbsp;km, ''b'' gibanje v jugovzhodni smeri za 2&nbsp;km. Njuno sestavljeno gibanje pa je ''a'' <sup>o</sup> ''b'' ali gibanje proti vzhodu za √8&nbsp;km (za geometrijski pomen glej [[Pitagorov izrek]]).

Množica vseh premikov ravnine z operacijo [[sestava|sestave]] (kompozicije) <sup>o</sup> tvori grupo:

# Če sta ''a'' in ''b'' premika, potem je ''a'' <sup>o</sup> ''b'' tudi premik (Zakon o zaprtosti).
# Če so ''a'', ''b'' in ''c'' premiki, potem velja (''a'' <sup>o</sup> ''b'') <sup>o</sup> ''c'' = ''a'' <sup>o</sup> (''b'' <sup>o</sup> ''c'') (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)).
# Nevtralni element takšne grupe je premik s predpisom: gibanje 0&nbsp;km v katerokoli smer.
# Obratni element premika je dan z gibanjem v obratni smeri za enako razdaljo.

To je Abelova grupa in prvi primer [[nezveznost|nezvezne (nediskretne)]] [[Liejeva grupa|Liejeve grupe]] - grupe, katere temeljna množica je [[mnogoterost]].

=== [[Grupa simetrij|Grupe simetrij]] ===

Grupe so zelo pomembne pri opisovanju simetrije mnogih objektov: geometrijskih kot je [[tetraeder]] ali algebrskih, kot je množica enačb. Kot zgled preučimo kvadratno kamnito ploščo z določeno debelino. Da lahko opišemo njeno simetrijo, sestavimo množico vseh togih premikov plošče, ki se na oko ne razlikujejo. Če jo, na primer, zasučemo za 90°, bo po videzu enaka. Na ta način je takšen premik en element naše množice. Označimo ga z ''R''. Ploščo lahko zasučemo vodoravno tako, da spodnja stran gleda navzgor. Tudi sedaj bo plošča izgledala enako. In prav tako je to element naše množice. Označimo ga s ''T''. Obstaja pa seveda tudi premik, ki ne naredi nič. Označimo ga z ''I''. Če imamo sedaj dve takšni gibanji ''a'' in ''b'', lahko določimo njuno sestavo (kompozicijo) ''a'' <sup>o</sup> ''b'' kot zgoraj. Najprej izvedemo gibanje ''b'' in nato gibanje ''a''. Po takšnem gibanju bo plošča izgledala enako. Množica vseh tistih gibanj z operacijo sestave (kompozicije) tvori grupo. Takšna grupa je najbolj zgoščen opis simetrije plošče. [[Kemik]]i pri opisovanju simetrije [[kristal]]ov uporabljajo prav takšne tipe grup simetrij. Poglejmo simetrijo naše plošče še malo bolj natančno. Imamo tri elemente ''R'', ''T'' in ''I''. Vendar jih lahko sestavimo še več. Na primer ''R'' <sup>o</sup> ''R'', ali zapisano kot ''R''<sup>2</sup> je obrat plošče za 180°. Smer sukanja pri tem ni pomembna. ''R''<sup>3</sup> je zasuk plošče za 270° v smeri urinega kazalca. Enak zasuk je zasuk za 90° v nasprotni smeri urinega kazalca. Vidimo tudi, da velja ''T''<sup>2</sup> = ''I'' in ''R''<sup>4</sup> = ''I''. Kakšno je pri tem gibanje ''R'' <small>o</small> ''T''? Najprej imamo zasuk v vodoravni smeri in nato zasuk. Poskušajmo si predstavljati, da velja ''R'' <sup>o</sup> ''T'' = ''T'' <sup>o</sup> ''R''<sup>3</sup>. Hkrati ''R''<sup>2</sup> <sup>o</sup> ''T'' predstavlja vodoravni zasuk in je enak ''T'' <sup>o</sup> ''R''<sup>2</sup>.

Ta grupa je v bistvu končna in ima moč 8. Vse kar želimo vedeti o njej lahko zapišemo v [[tabela množenja|tabeli množenja]]:
{| class="wikitable"
|----- valign="bottom" align="center"
! <sup>o</sup>
! ''I''
! ''T''
! ''R''
! ''R''<sup>2</sup>
! ''R''<sup>3</sup>
! ''R'' ''T''
! ''R''<sup>2</sup> ''T''
! ''R''<sup>3</sup> ''T''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''I''
| ''I'' || ''T'' || ''R''
| ''R''<sup>2</sup> || ''R''<sup>3</sup>
| ''R'' ''T''
| ''R''<sup>2</sup> ''T'' || ''R''<sup>3</sup> ''T''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''T''
| ''T'' || ''I'' || ''R''<sup>3</sup> ''T''
| ''R''<sup>2</sup> ''T'' || ''R'' ''T''
| ''R''<sup>3</sup> || ''R''<sup>2</sup> || ''R''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''R''
| ''R'' || ''R'' ''T'' || ''R''<sup>2</sup>
| ''R''<sup>3</sup> || ''I''
| ''R''<sup>2</sup> ''T'' || ''R'<sup>3</sup> ''T'' || ''T''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''R''<sup>2</sup>
| ''R''<sup>2</sup> || ''R''<sup>2</sup> ''T''
| ''R''<sup>3</sup> || ''I'' || ''R'' || ''R''<sup>3</sup> ''T''
| ''T'' || ''R'' ''T''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''R''<sup>3</sup>
| ''R''<sup>3</sup> || ''R''<sup>3</sup> ''T''
| ''I'' || ''R'' || ''R''<sup>2</sup> || ''T''
| ''R'' ''T'' || ''R''<sup>2</sup>''T''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''R'' ''T''
| ''R'' ''T'' || ''R'' || ''T''
| ''R''<sup>3</sup> ''T'' || ''R''<sup>2</sup> ''T''
| ''I''
| ''R''<sup>3</sup> || ''R''<sup>2</sup>
|----- valign="bottom" align="center"
! ''R''<sup>2</sup> ''T''
| ''R''<sup>2</sup> ''T'' || ''R''<sup>2</sup>
| ''R'' ''T'' || ''T'' || ''R''<sup>3</sup> ''T''
| ''R'' || ''I'' || ''R''<sup>3</sup>
|----- valign="bottom" align="center"
! ''R''<sup>3</sup> ''T''
| ''R''<sup>3</sup> ''T'' || ''R''<sup>3</sup>
| ''R''<sup>2</sup> ''T'' || ''R'' ''T'' || ''T''
| ''R''<sup>2</sup> || ''R'' || ''I''
|}

Tabela prikazuje sestavo (kompozicijo) za poljuben par elementov iz grupe. Vsak element se pojavi v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu natanko enkrat. To ni naključje. Tukaj smo namesto ''R''<sup>3</sup> <sup>o</sup> ''T'' krajše zapisali »''R'' <sup>3</sup> ''T''«.

Matematiki poznajo to grupo kot [[diedrska grupa|diedrsko grupo]] moči 8 in jo imenujejo ''D''<sub>4</sub> ali ''D''<sub>8</sub>, odvisno od vira. To je bil prvi primer neabelove grupe. Operacija grupe <sup>o</sup> ni komutativna, kar lahko vidimo iz tabele. Tabela vzdolž glavne diagonale ni simetrična.

=== Matrične grupe ===

Če je ''n'' poljubno pozitivno celo število, lahko premislimo o množici vseh obrnljivih ''n'' × ''n'' [[matrika|matrik]] iz množice [[realno število|realnih števil]]. To je grupa z [[matrično množenje|matričnim množenjem]] kot operacijo grupe. Imenuje se [[splošna linearna grupa]], GL(''n''). Geometrijsko vsebuje vse kombinacije transformacij vrtenja, zrcaljenja, raztezanja in krivljenja ''n'' razsežnega [[evklidski prostor|evklidskega prostora]] preko dane nepomične točke (''izhodišča'').

Če se omejimo na matrike z [[determinanta]]mi enakimi 1, dobimo novo grupo, [[posebna linearna grupa|posebno linearno grupo]], SL(''n''). Ta geometrijsko vsebuje vse elemente GL(''n''), ki ohranjajo tako smer in prostornino različnih [[geometrijsko telo|geometrijskih teles]] v evklidskem prostoru.

Če pa se omejimo na [[ortogonalna matrika|ortogonalne]] matrike, dobimo [[ortogonalna grupa|ortogonalno grupo]], O(''n''). Ta geometrijsko vsebuje vse kombinacije vrtenj in zrcaljenj z nepomičnim izhodiščem. To so prav transformacije, ki ohranjajo dolžine in [[kot]]e.

Če združimo obe omejitvi, dobimo [[grupa vrtenj|posebno ortogonalno grupo]] SO(''n''), ki vsebuje samo vrtenja.

Vse te grupe so prvi primeri neskončnih neabelovih grup, ki so tudi Liejeve grupe.

Če to posplošimo na matrike s [[kompleksno število|kompleksnimi števili]], dobimo še več uporabnih Liejevih grup, ko je [[enotska grupa]] U(''n''). Takšne grupe lahko obravnavamo tudi popolnoma algebrsko z matrikami iz kateregakoli obsega, vendar takšne grupe niso Liejeve.

=== Prosta grupa z dvema generatorjema ===

Prosta grupa z dvema [[generator]]jema ''a'' in ''b'' vsebuje vse končne [[znakovni niz|znakovne nize]], ki jih lahko oblikujemo iz štirih znakov ''a'', ''a''<sup>-1</sup>, ''b'' in ''b''<sup>-1</sup> tako, da se noben ''a'' neposredno ne pojavi poleg ''a''<sup>-1</sup> in noben ''b'' poleg ''b''<sup>-1</sup>. Dva takšna znakovna niza lahko povežemo in spremenimo v znakovni niz tega tipa s ponavljajočo zamenjavo »prepovedanega« podniza s praznim znakovnim nizom. Na primer: znakovni niz "''a'' ''b'' ''a'' ''b''<sup>-1</sup>" povezan z znakovnim nizom "''a'' ''b'' ''a'' ''b''<sup>-1</sup> ''a''" nam da znakovni niz "''a'' ''b'' ''a'' ''b''<sup>-1</sup> ''a''<sup>-1</sup> ''a'' ''b'' ''a'' ''b''<sup>-1</sup> ''a''", ki ga skrčimo na "''a'' ''b'' ''a'' ''a'' ''b''<sup>-1</sup> ''a''". Preverimo lahko, da množica takšnih znakovnih nizov s to operacijo tvori grupo z nevtralnim elementom, praznim znakovnim nizom ε ≡ "". Po navadi narekovaje opustimo, zaradi česar potrebujemo znak &epsilon.

To je naslednji primer neskončne neabelove grupe.

Proste grupe so pomembne v [[algebrska topologija|algebrski topologiji]]. Prosto grupo z dvema generatorjema potrebujemo tudi pri dokazu [[Banach-Tarskijev paradoks|Banach-Tarskijevega paradoksa]].

=== Še nekaj primerov končnih grup ===

Glej [[seznam malih grup]] za še druge primere.

== Teorija grup ==
{{glavni|teorija grup}}

Za primerjavo grup potrebujemo orodja kot so [[homomorfizem grupe|homomorfizmi grup]] in lahko nove grupe oblikujemo iz starih s pojmi [[podgrupa|podgrupe]], [[normalna podgrupa|normalne podgrupe]], [[faktorska grupa|faktorske grupe]], [[središče grupe|središča grupe]], [[izpeljana grupa|izpeljane grupe]] in [[produkt grup|produkti grup]], še posebej [[poldirektni produkt|poldirektni]] in [[direktni produkt]]i. Pri proučevanju teh pojmov naletimo na [[Lagrangeov izrek]], [[osnovni izrek o homomorfizmih]] in [[izreki o izomorfizmu|izreke o izomorfizmu]]. Pomembno orodje pri tem je pojem [[somnožica|somnožice]] dane podgrupe.

Pri natančnejšem raziskovanju [[mreža|mrež]] podgrup dane končne grupe nam pomaga zamisel [[p-grupa|''p''-grupe]] in [[Sylowi izreki]]. Dodatno pomoč pri dokazovanju teh izrekov nam nudi zamisel o [[učinek grupe|učinku grupe]].

V celoti lahko opredelimo tudi [[ciklična grupa|ciklične]] ali ''urne grupe'', ki jih lahko pridelamo iz enega elementa. Vse ciklične grupe so Abelove. Še bolj splošno velja. Vse grupe pridelane v končnem (in še posebej končne) Abelove grupe lahko v celoti opredelimo z izrekom, ki ima široko uporabo. (Glej [[končnoporojena Abelova grupa]]).

Zaplete se, ko se dotaknemo končnih neabelovih grup. Vsaka končna grupa je zgrajena iz [[enostavna grupa|enostavnih grup]]. Z znamenitim orjaškim ''klasifikacijskim izrekom'' lahko opredelimo vse končne enostavne grupe (glej [[klasifikacija končnih enostavnih grup]]. [[rešljiva grupa|Rešljive]] in [[nilpotentna grupa|nilpotentne grupe]] so pomembne ker se neprestano pojavljajo v [[Galoisova teorija|Galoisovi teoriji]] pri opredelitvi tistih [[polinom]]skih enačb, ki jih lahko rešimo s koreni (radikali).

Pomembno orodje v teoriji grup je pojem [[prikaz grupe|prikaza grupe]]. V osnovi želimo »prikazati« dano abstraktno grupo s stvarno grupo obrnljivih matrik, ki so enostavnejše za proučevanje.

Pri označevanju abstraktne grupe pogostokrat uporabimo generatorje in [[relacija|relacije]] (glej [[upodobitev grupe]]). S tem se porajajo vprašanja, na primer: »Ali ti dve upodobitvi označujeta izomorfni grupi?«, »Ali ta upodobitev označuje trivialno grupo?«. Precej podobnih vprašanj je nerešljivih s splošnim [[algoritem|algoritmom]] (glej na primer [[besedni problem za grupe]]).

== Uporabe ==

Grupe uporabljamo v celotni matematiki, velikokrat za opis notranje simetrije drugih struktur, v obliki [[avtomorfizem grupe|avtomorfizma grup]].

V Galoisovi teoriji, ki je zgodovinsko gledano zečetek pojma grupe, uporabljamo grupe za opis simetrij enačb s polinomskimi koreni.

V algebrski topologiji uporabljamo grupe za opisovanje [[invarianta|invariant]] v [[topološki prostor|topoloških prostorih]]. Imenujemo jih »invariante«, ker so določene na način, pri katerem se ne spremenijo, če je prostor pod vplivom kakšnega popačenja (deformacije). Zgledi za takšne grupe so: [[fundamentalna grupa]], [[homološka grupa|homološke grupe]] in [[kohomološka grupa|kohomološke grupe]].

Pojem Liejeve grupe je pomemben pri raziskovanju [[diferencialna enačba|diferencialnih enačb]] in mnogoterosti. S pojmoma združujemo [[matematična analiza|analizo]] in teorijo grup in sta zato primerna objekta pri opisovanju simetrij analitičnih struktur. Analiza takšnih in podobnih grup se imenuje [[harmonična analiza]].

V [[kemija|kemiji]] uporabljamo grupe za opredelitev kristalnih zgradb, pravilnih [[polieder|poliedrov]] in simetrij [[molekula|molekul]].

V [[fizika|fiziki]] so grupe pomembne ker opisujejo simetrije, katerim so podvrženi [[naravni zakon]]i. Fiziki se zelo zanimajo za prikaze grup, še posebej za Liejeve grupe, ker nakazujejo »primerne« fizikalne teorije.

Abelove grupe so osnova drugim strukturam, ki jih proučuje abstraktna algebra kot so [[kolobar (algebra)|kolobarji]], obsegi in [[modul]]i.

=== Posplošitve ===

Liejeve grupe, algebrske grupe in [[topološka grupa|topološke grupe]] so primeri [[grupni objekt|grupnih objektov]]: grupa kot strukture leži v [[kategorija|kategoriji]].
[[zakon oblikovne grupe|Zakoni oblikovnih grup]] so določene [[oblikovne potenčne vrste]], katerih lastnosti so zelo podobne grupni operaciji.

V raziskovanju topoloških in analitičnih struktur nastopajo [[grupoid]]i, ki so podobni grupam, s tem, da sestava (kompozicija) ''a'' * ''b'' ni nujno določena za vse elemente ''a'' in ''b''. Grupoidi so posebna vrsta kategorij.

== Zunanje povezave ==

* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_groups.html Zgodovina pojma abstraktne grupe] {{ikona en}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Algebrske strukture]]