Ogled vira Euler-Mascheronijeva konstanta

{| class="infobox bordered" cellpadding=5
| colspan="2" align="center" | {{iracionalna števila}}
|-
|[[dvojiški številski sistem|Dvojiško]]
| 0,1001001111000100011...
|-
| [[desetiški številski sistem|Desetiško]]
| 0,5772156649015328606...
|-
| [[dvanajstiški številski sistem|Dvanajstiško]]
| 0,6B15188A6760B389884...
|-
| [[šestnajstiški številski sistem|Šestnajstiško]]
| 0,93C467E37DB0C7A4D1B...
|-
| [[Verižni ulomek]]
| <math> [0; 1, 1, 2, 1, \cdots] </math><br /><small>Verižni ulomek ''γ'' ima vsaj 470.000 členov..<ref name="Havil">{{sktxt|Havil|2003|pp=97}}.</ref></small>
|}

'''Euler-Mascheronijeva konstánta''' [ôjler-mašerónijeva ~] je [[matematična konstanta]], ki se največ uporablja v [[matematična analiza|analizi]] in [[teorija števil|teoriji števil]]. Po navadi je označena z majhno grško črko γ ([[gama]]). Določena je kot [[matematična limita|limita]] razlike med [[harmonična vrsta|harmonično vrsto]] in [[naravni logaritem|naravnim logaritmom]]:

: <math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ \left( 
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) - \ln n \right] = \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{\lfloor x\rfloor} - \frac{1}{x}\right)\, \mathrm{d} x \!\, . </math>

Konstanta je podana tudi s [[posplošeni integral|posplošenim]] [[integral]]om:

: <math> \gamma = - \int_{0}^{\infty} \frac{\ln x}{e^{x}} \, \mathrm{d} x \!\, . </math>

Njena [[desetiški številski sistem|desetiška]] vrednost je {{OEIS|id= A001620}}:

: ''γ'' = 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495...

Od 3. januarja 2008 je znanih 131,151,000 [[števka|števk]].

== Zgodovina ==

Konstanto je prvi uvedel [[Leonhard Euler]] leta [[1734 v znanosti|1734]] z zgornjo limito in izračunal prvih pet števk z vrednostjo ''γ'' = 0,577218. Konstanto je označil s ''C'' in ''O'' ter izračunal še prvih 16 števk leta 1781. Konstanta se je pojavila leta 1735 v njegovem članku ''De Progressionibus harmonicis observationes'' (Eneström Index 43). Zaradi tega se včasih imenuje tudi ''Eulerjeva konstanta''. 

Geometer [[Lorenzo Mascheroni]] (1750-1800), ki je izračunal 32 števk, 19 pa je bilo pravilnih,  je leta [[1790 v znanosti|1790]] za konstanto uporabljal črko ''A''. Znak γ se drugače ne pojavlja nikjer v Eulerjevem ali Mascheronijevem delu, in so ga izbrali kasneje zaradi povezave konstante s [[funkcija gama|funkcijo Γ]].<ref>{{sktxt|Krämer|2005}}.</ref>

== Uporaba ==

Euler-Mascheronijeva konstanta se med drugim pojavlja v:

* izrazih za [[eksponentni integral]]:
:: <math> \operatorname{Ei}\,(x) = \gamma+\ln x+ 
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k\; k!} \, , \qquad ( x>0 ) \!\, </math>
:: <math> E_{1}(z) =-\gamma-\ln z+ 
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} z^{k}}{k\; k!} \, , \qquad ( \Re(z)>0 ) \!\, </math>
* [[Laplaceova transformacija|Laplaceovi transformaciji]] za [[naravni logaritem]]:
:: <math> - \frac{t_{0}}{s} \Big[ \ln(t_{0} s) + \gamma \Big] \, , \qquad ( \Re(s) > 0 ) \!\, </math>
* prvem členu razvoja Riemannove funkcije ζ s [[Taylorjeva vrsta|Taylorjevo vrsto]], kjer je prva od [[Stieltjesove konstante|Stieltjesovih konstant]] <math>\gamma_{0}</math>:
:: <math> \gamma = 1 -  \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \Big[ \zeta(n) - 1 \Big] \!\, </math>
* enačbi za produkt funkcije Γ:
:: <math> \gamma = - \Gamma'(1) \!\, </math>
* računih [[funkcija digama|funkcije digama]] ψ<sub>0</sub>(''x''):
:: <math> \gamma = \psi_{0} (1) \!\, </math>
* neenakosti za [[Eulerjeva funkcija fi|Eulerjevo funkcijo φ]]:
:: <math> \varphi(n) > \frac {n} {e^\gamma\; \log \log n + \frac {3} {\log \log n}}, \qquad ( n > 2 ) \!\, 
</math>
* stopnji rasti [[število deliteljev|števila deliteljev]]:
:: <math> \sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}) \, , \qquad ( x \ge 1 ) \!\, </math>
* računu [[Meissel-Mertensova konstanta|Meissel-Mertensove konstante]]
* tretjem [[Mertensovi izreki|Mertensovem izreku]]:
:: <math> \lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p\in \mathbb{P} \atop p<n}\left(1-\frac1p\right) = \frac{1}{e^{\gamma}} \!\, </math>
* v asimptotičnem približku rešitve [[Besslova funkcija|Besslove funkcije]] druge vrste
:: <math> Y_{\nu}(x) \rightarrow \begin{cases}
  \frac{2}{\pi} \Big[ \ln (x/2) + \gamma \Big]                  \, ; & \nu=0 \\ \\
  -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^{\nu} \, ; & \nu > 0 
\end{cases} \!\, </math>

== Značilnosti ==

Ni znano ali je konstanta ''γ'' [[algebrsko število|algebrsko]] ali [[transcendentno število]]. Ni znano niti ali je [[iracionalno število]] ali ne. Raziskave [[verižni ulomek|verižnih ulomkov]] kažejo, da če je ''γ'' [[racionalno število]] ''a''/''b'', ima njen [[imenovalec]] ''b'' vsaj 242.080 [[števka|števk]].<ref name="Havil" /> [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] je menda ponudil svoj odstop od stolice na Univerzi v Oxfordu vsakomur, ki bi dokazal ali je ''γ'' iracionalna, čeprav ni o tem nobenega pisnega vira. [[John Horton Conway|Conway]] in [[Richard Kenneth Guy|Guy]] sta pripravljena staviti, da je transcendentno število, čeprav v svojih življenjih ne pričakujeta dokaza. Ker je ''γ'' prisotna na mnogih področjih, predstavlja njena iracionalnost enega od glavnih [[nerešeni matematični problemi|nerešenih problemov v matematiki]].<ref name="Sondow2003">{{sktxt|Sondow|2003}}.</ref> 

== Sklici ==
{{sklici|2}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}

* {{citat|last1= Grasselli|first1= Jože|authorlink1= Jože Grasselli|title= Enciklopedija števil|date= 2008|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]] – založništvo|location= Ljubljana|series= Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij|issn= 1408-1571|volume= 45|isbn= 978-961-212-209-6|cobiss=243138304|ref= harv}}
* {{citat|last1= Havil|first1= Julian|title= Gamma: Exploring Euler's Constant|year= 2003|publisher= Princeton University Press|isbn= 0-691-09983-9|ref= harv}}
* {{citat|last1= Krämer|first1= Stefan|date= 2005|title= Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen|work= Diplomska naloga, Univerza v Göttingenu|ref= harv}}
* {{citat|last1= Sondow|first1= Jonathan|authorlink1= Jonathan Sondow|date= 2003|title= An infinite product for e<sup>γ</sup> via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ.|arxiv= math.CA/0306008|ref= harv}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|urlname=Euler-MascheroniConstant|title=Euler-Mascheroni Constant}}
* Xavier Gourdon, Pascal Sebah, [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html ''Eulerjeva konstanta: γ''] (''The Euler Constant: γ'') {{ikona en}}

[[Kategorija:Matematične konstante]]
[[Kategorija:Nerešeni matematični problemi]]
[[Kategorija:Leonhard Euler]]
[[Kategorija:Lorenzo Mascheroni]]
[[Kategorija:1734 v znanosti]]
[[Kategorija:1790 v znanosti]]