Ogled vira E (matematična konstanta)

{{DISPLAYTITLE:''e'' (matematična konstanta)}}
{| class="infobox bordered" cellpadding=5
| colspan="2" align="center" | {{iracionalna števila}}
|-
|[[dvojiški številski sistem|Dvojiško]]
| 10,10110111111000010101...
|-
| [[desetiški številski sistem|Desetiško]]
| 2,71828182845904523536...
|-
| [[dvanajstiški številski sistem|Dvanajstiško]]
| 2,8752360698219BA795A1...
|-
| [[šestnajstiški številski sistem|Šestnajstiško]]
| 2,B7E151628AED2A6ABED2...
|-
| [[šestdesetiški številski sistem|Šestdesetiško]]
| 2; 43, 05, 48, 52, 29, 48, 35, ...
|-
| [[Verižni ulomek]]
| <math> [2; 1, 2, 1, 1, \cdots] </math><br /><small>Verižni ulomek π je [[periodični verižni ulomek|neperiodičen]].</small>
|}
[[Slika:Exp derivative at 0.svg|thumb|right|290px|''e'' je takšno število ''a'', da je vrednost [[odvod]]a [[eksponentna funkcija|eksponenetne funkcije]] ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' ([[modra|modro]]) v [[točka|točki]] ''x''&nbsp;=&nbsp;0 natanko enaka 1. Za primerjavo sta prikazani funkciji 2<sup>''x''</sup> (pikčasto) in 4<sup>''x''</sup> (prekinjeno), ki nista [[tangenta|tangentni]] [[premica|premici]] z naklonom 1 ([[rdeča|rdeče]]).]]

[[Matematična konstanta]] '''''e''''' (včasih imenovana '''Eulerjevo število''' po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu [[Leonhard Euler|Leonhardu Eulerju]], ali tudi '''Napierova konstanta''' v čast škotskemu matematiku in teologu [[John Napier|Johnu Napieru]], ki je odkril [[logaritem|logaritme]]), je osnova [[naravni logaritem|naravnih logaritmov]]. Njena [[desetiški številski sistem|desetiška]] vrednost je {{OEIS|id=A001113}}:

: <math> e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 \dots \!\, . </math>

Predstavlja največji prirastek v eni časovni enoti, ko gre za 100 % kontinuirano rastjo.

Poleg števila [[pi|''π'']] in [[imaginarna enota|imaginarne enote  ''i'']], je ''e'' ena najpomembnejših matematičnih konstant. Definirana je na različne načine, glej spodaj.

Opomba: poimenovanje števila ''e'' kot Eulerjevo število se ne sme zamenjevati s pojmom [[Eulerjevo število|Eulerjevih števil]] kot členov [[zaporedje|zaporedja]].

== Definicije ==

:1. Z [[limita|limito]]:

:: <math> e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \!\, . </math>

:2. Kot [[neskončna vsota|neskončna]] [[vsota]] [[obratna vrednost|obratnih vrednosti]] [[fakulteta (funkcija)|fakultet]] [[pozitivno število|pozitivnih]] [[celo število|celih števil]]:

:: <math> e = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \cdots \!\, </math>

:3. ''e'' je število ''x'' > 0, določeno z [[integral]]om:

:: <math> \int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d} t}{t} = 1 \!\, . </math>

== Značilnosti ==

Število ''e'' je [[iracionalno število]] in celo [[transcendentno število]]. Iracionalnost števila ''e'' je dokazal leta 1761 [[Johann Heinrich Lambert]], opirajoč se na Eulerjevo delo. Da število ''e'' in njegov [[kvadrat]] ''e''<sup>2</sup> nista korena nobene [[kvadratna enačba|kvadratne enačbe]] z [[racionalno število|racionalnimi]] koeficienti, je dokazal leta 1844 [[Joseph Liouville]], leta 1873 pa je [[Charles Hermite]] dokazal da je število ''e'' transcendetno. To je bil prvi dokaz transcendentnosti kakšnega števila, ne da bi ga bilo potrebno posebej konstruirati, kot na primer [[Liouvillovo število]].

Domnevajo, da je število ''e'' [[normalno število]].

Neskončni [[verižni ulomek]] števila ''e'' vsebuje zanimiv vzorec, ki se ga zapiše kot:

: <math> e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \ldots] \!\, . </math>

== Intuitivno razumevanje ==

Zakaj je ''e'' ravno 2,71...

Če želimo razumeti konstanto ''e'', moramo najprej razumeti [[eksponentna funkcija|eksponentno rast]]. Preprost zgled eksponentne rasti je razmnoževanje bakterij. Vemo, da se bakterije razmnožujejo tako, da se delijo in iz ene nastaneta dve. Tako rast opisuje enačba 2<sup>''x''</sup>. ''X'' označuje, kolikokrat je prišlo do delitve. Če smo npr. imeli na začetku eno bakterijo in je prišlo do 3-kratne zaporedne delitve, bomo na koncu dobili 8 bakterij (Slika 1). Formula 2<sup>''x''</sup> predpostavlja, da do rasti pride v zadnjem možnem trenutku. Bakterije čakajo in čakajo potem pa v enem samem trenutku iz ene nastaneta dve. Vemo, da to ni tako in da se bakterije delijo postopoma. V tem primeru to dejstvo vseeno nič ne spremeni enačbe 2<sup>''x''</sup>, saj mora bakterija dokončno zrasti, da se lahko zopet začne deliti (Slika 2). 

[[Slika:Rast bakterij.PNG]]

Drugače pa je npr. pri denarju. Če imamo na začetku 1 evro, nam ni treba čakati, da z obrestmi zaslužimo nov evro, ampak lahko že posamezen cent začne služiti svoje obresti. Predpostavimo, da je letna obrestna mera 100 %. Če vložimo 1 €, bomo ob koncu leta zaslužili dodaten evro (saj gre za 100 % rast) in tako imeli 2 evra. Kaj pa če obresti izplačamo dvakrat letno, na vsakih 6 mesecev? Letna obrestna mera je še vedno 100 %, torej vsakih 6 mesecev zaslužimo 50% obresti. Rast opisuje enačba 

: <math>\mathrm{rast} = \left(1+\frac{100\%}{2}\right)^2 \!\, . </math>

V drugem polletju je zasluženih 50 centov obresti začelo služiti še svoje dodatne obresti; še dodatnih 25 centov. Končni letni izkupiček je v tem primeru – 2,25 evra (Slika 1). Kaj pa če leto razdelimo na več intervalov in obresti izplačamo 3 krat letno? Rast bo opisala enačba:

: <math> \mathrm{rast} = \left(1+\frac{100\%}{3}\right)^3 \!\, . </math>

V posamezni tretjini leta bodo izplačane obresti v višini 33,3 %. Situacija je podobna kot prej – zaslužene obresti bodo začele služiti svoje obresti, končni letni izkupiček pa bo 2,37 evra (Slika 2).

[[Slika:N=2, n=3.PNG]]

Kaj pa če leto razdelimo na še manjše intervale? Se bodo naši letni izkupički povečevali v neskončnost?
Če v formulo vstavimo vedno večje ''n''-je, ki označujejo število intervalov, dobimo ''e00, kot ga definiramo z limito:

: <math> e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \!\, . </math>

''e'' je vrednost limite, če se ''n'' približuje neskončnosti. To, da se ''n'' približuje neskončnosti, pomeni, da smo neko časovno obdobje (v našem zgledu leto) razdelili na neskončno veliko število intervalov in tako dosegli t. i. kontinuirano ras, rast, ki se dogaja neprestano, v vsakem trenutku. ''e'' torej predstavlja maksimum, ki ga dobimo, ko gre za kontinuirano 100 % rast.

== Zgodovina ==

Odkritje števila ''e'', najverjetneje rezultat eksperimentalnega opazovanja, je splašilo matematike zgodnjega 17. stoletja , ki jim je bila [[limita]] še neznan koncept. Kljub temu najdemo začetke števila ''e'' in [[eksponentna funkcija|eksponentne funkcije]] ''e''<sup>''x''</sup> v vsakdanjih težavah, npr. Kako količina denarja narašča s časom. Zaračunavanje dodatnega plačila za izposojen denar sega globoko v zgodovino. Veliko zgodnje matematične literature se ukvarja z vprašanjem povezanim z obrestmi. Tak primer je glinena plošča iz Mezopotamije, za katero predvidevajo, da je nastala v 18. stoletju pr. n. št. Če namesto o denarju govorimo o žitu ali živini, lahko koncept obrestnih obresti vpeljemo v kakršnokoli dejavnost npr. kmetovanje, živinorejo ali trgovino. Ljudstva so se torej ukvarjala z različnimi opcijami rasti veliko prej kakor s pisanjem. Na nek način so že Babilonci uporabljali logaritemske tabele. Na ohranjenih glinenih tablicah najdemo prve zapise sledečih si popolnih kvadratov (1/36, 1/16, ...), ki so jih najverjetneje uporabljali za operiranje z obrestnimi obrestmi. Enačba za obrestne obresti je dokaj zapletena in dolga. Kljub temu obstaja enostavnejša pot do števila, kar potrjuje starodavna metoda [[enotski ulomek|enotskih ulomkov]] (1/''x''). Stari Egipčani so uporabljali to metodo pri vseh vrstah deljenja. To potrjuje tudi eno od najstarejših sumerskih besedil iz časov 2000 pr. n. št., kjer so razvidne tabele množitve in inverzije (1/''x''). Takšni enotski ulomki lahko sestavljajo število ''e'' z naslednjo formulo:

: <math> e= 2+ \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots \!\, , </math>

kjer ! pomeni [[fakulteta (funkcija)|fakulteta]] števila.

=== Zgodovina števila ''e'' v 17. stoletju ===

Značilnosti števila ''e'' so kmalu navdušile matematike 17. stoletja. 

[[John Napier]] je pri primerjavi [[aritmetično zaporedje|aritmetičnega]] in [[geometrično zaporedje|geometričnega zaporedja]] prišel na misel, da bi izdelal tabelo naravnega logaritma različnih števil, saj bi si s tem poenostavil računanje. Tako je leta 1614 objavil knjigo ''Opis čudovitega kanona logaritmov'', s katero je oznanil odkritje logaritmov. V knjigi se je našla tabela logaritmov, za katero je porabil 20 let svojega življenja. Osnova logaritmov je bila Napierova konstanta ki jo danes poznamo pod imenom število ''e''. 

Ljudje so kmalu spoznali, da ima objavljena tabela logaritemske funkcije neko univerzalno številsko osnovo. In to število je bilo število ''e''.  Večkrat, ko so uporabili to magično vrednost pri računanju, večkrat so se s to vrednostjo naključno srečevali. Vendar vrednost ''e'' za čas Napiera ni prišlo v matematično literaturo.

[[Jakob Bernoulli I.|Jacob Bernoulli]] je bil matematik, ki je bil bistven za odkritje števila ''e''. V 17. stoletju se je ubadal predvsem z matematičnim problemom obrestnih obresti. S proučevanjem obrestnih obresti je ugotovil, da limita leži med številoma 2 in 3. To lahko štejemo za prvi približek in definicijo števila ''e''. S tem je bil prvi, ki je definiral neko število z limito.

Za samo označbo števila ''e'' je odgovoren [[Leonhard Euler]]. Velja za enega najpomembnejših matematikov 18. stoletja. Njegova odkritja sežejo na različna področja matematike, npr. teorija števil in teorija grafov. Uvedel je veliko sodobnih matematičnih pojmov in oznak; v matematični analizi, npr. pojem [[funkcija|funkcije]]. Euler je raziskoval značilnosti števila ''e'' in pravzaprav dal številu ''e'' trenutno označbo. Euler je dokazal, da je ''e'' limita (1+1/''n'')<sup>''n''</sup>, ko gre ''n'' proti neskončnosti. Prav tako je določil 23 decimalnih mest števila ''e''. Avtor Maor je mnenja, da je oznaka ''e'' pravzaprav okrajšava za besedo eksponentno. Hkrati pa so bile črke od a do d že uporabljene kot matematični simboli, tako je prišlo do označbe z naslednjo prosto črko, e.

== Zanimivosti ==

* [[Google|Google, Inc.]] je za leto 2004, namesto običajnih okroglih številk, napovedal rast dohodka za 2.718.281.828 [[USD]], kar je ravno ''e'' milijard dolarjev zaokroženo na najbližje [[celo število]].
* Oznake različic programa [[Metafont]] za generiranje pisav za stavni sistem [[TeX]] konvergirajo proti ''e'' in so trenutno (2004) pri 2.71828. Ko bo [[Donald Knuth]] umrl, bo zadnja trenutna različica preimenovana v različico ''e'', vsi hrošči pa bodo razglašeni za dokončne značilnosti.
* Tukaj je način kako si lahko namesto približka 2,7 enostavno zapomnite 18 mest števila ''e''. Zapišimo število takole: 2.7 1828 1828 45 90 45 23. In sedaj [[mnemotehnika]]: 2,7 ste gotovo že poznali; dvakrat se pojavi 1828, ki je rojstna letnica naslednjih znanih ljudi: [[Jules Verne]], [[Henrik Ibsen]], [[Jean Henri Dunant]] in [[Lev Nikolajevič Tolstoj]]. 45 se pojavi dvakrat, vsota je 90, za povrh pa si zapomnimo še 23.

== Glej tudi ==

* [[pi]]
* [[Eulerjeva enačba]]

== Zunanje povezave ==

* [http://sources.wikipedia.org/wiki/E_to_10,000_places Wikisource - ''e'' na 10.000 mest]
* [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html Število ''e'' (zgodovina)]
* {{MathWorld|urlname=e|title=e}}

{{-}}

{{iracionalno število}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Matematične konstante]]
[[Kategorija:Transcendentna števila]]
[[Kategorija:Leonhard Euler]]
[[Kategorija:John Napier]]