Ogled vira Aritmetično-geometrična sredina

'''Aritmétično-geométrična sredína''' dveh [[realno število|realnih števil]] {{math|''x''}} in {{math|''y''}} je v [[matematika|matematiki]] [[srednja vrednost]], določena na naslednji način:

Najprej se izračuna [[aritmetična sredina]] [[število|števil]] {{math|''x''}} in{{math|''y''}}. Označi se jo z {{math|''a''<sub>1</sub>}}. Nato se izračuna njuno [[geometrična sredina|geometrično sredino]] in se jo označi z {{math|''g''<sub>1</sub>}} - to je [[kvadratni koren]] [[produkt]]a {{math|''xy''}}:

: <math> \begin{align}
 a_1 &= \frac{1}{2}(x + y) , \\
 g_1 &= \sqrt{xy} \!\, . 
\end{align} </math>

Nato se ta operacija iterira, tako da se namesto {{math|''x''}} vzame {{math|''a''<sub>1</sub>}}, namesto {{math|''y''}} pa {{math|''g''<sub>1</sub>}}. Na ta način sta določeni dve [[zaporedje|zaporedji]] {{math|(''a''<sub>''n''</sub>)}} in {{math|(''g''<sub>''n''</sub>)}}:

: <math> \begin{align}
 a_{n+1} &= \frac{1}{2}(a_n + g_n) ,  \\
 g_{n+1} &= \sqrt{a_n g_n} \!\, .
\end{align} </math>

Ti dve zaporedji [[limita zaporedja|konvergirata]] k istemu številu, kar predstavlja '''aritmetično-geometrično sredino''' števil {{math|''x''}} in {{math|''y''}}. Označuje se jo z {{math|M(''x'', ''y'')}}, {{math|''M''(''x'', ''y'')}} in včasih {{math|agm(''x'', ''y'')}} ali {{math|AGM(''x'', ''y'')}}.

To se lahko rabi za algoritemske namene v [[metoda AGM|metodi AGM]].

== Zgled ==

Za izračun aritmetično-geometrične sredine števila {{math|''a''<sub>0</sub> {{=}} 23}} in {{math|''g''<sub>0</sub> {{=}} 7}}, se najprej izračuna njuno aritmetično in geometrično sredino:

: <math> \begin{align}
 a_1 &= \frac{1}{2}(23 + 7) = 15 , \\
 g_1 &= \sqrt{23 \cdot 7} = 12,68857754044952 \ldots \!\, . \end{align}</math>

Nato pa se iterira:

: <math>\begin{align}
 a_2 &= \frac{1}{2}(15 + 12,68857754044952) = 13,84428877022476 \ldots , \\
 g_2 &= \sqrt{15 \cdot 12,68857754044952} = 13,79596546482858 \ldots\\
 \dots \end{align} </math>

Prve štiri iteracije dajo naslednje vrednosti:

:{| class="wikitable"
|-
! {{math|''n''}}
! {{math|''a''<sub>''n''</sub>}}
! {{math|''g''<sub>''n''</sub>}}
|-
| 0
| 23
| 7
|-
| 1
| 15
| 12,68857754044952…
|-
| 2
| 13,84428877022476…
| 13,79596546482858…
|-
| 3
| 13,82012711752667…
| 13,82010599666786…
|-
| 4
| 13,82011655709727…
| 13,82011655709323…
|}

Aritmetično-geometrična sredina števil 23 in 7 je skupna limita teh dveh zaporedij, kar je približno 13,82011655709.

== Zgodovina ==

Prvi [[algoritem]] na podlagi tega para zaporedij se je pojavil v [[Adrien-Marie Legendre|Legendrovem]] delu. Njegove značilnosti je naprej raziskoval [[Carl Friedrich Gauss]].<ref name="BerggrenBorwein2004">{{sktxt|Cox|2004|pp=481}}.</ref>

== Značilnosti in uporaba ==

Geometrična sredina dveh pozitivnih števil ni nikoli večja od njune aritmetične sredine (glej [[neenakost aritmetičnih in geometričnih sredin]]). Zaradi tega je {{math|(''g<sub>n</sub>'')}} naraščajajoče zaporedje, {{math|(''a<sub>n</sub>'')}} padajoče in velja {{math|''g<sub>n</sub>'' ≤ M(''x'',&nbsp;''y'') ≤ ''a<sub>n</sub>''}}. To sta strogi neenakosti, če je {{math|''x'' ≠ ''y''}}.

{{math|M(''x'', ''y'')}} je tako število med geometrično in aritmetično sredino števil {{math|''x''}} in {{math|''y''}}, še posebej je med {{math|''x''}} in {{math|''y''}}.

Pri {{math|''r'' ≥ 0}} velja {{math|M(''rx'',''ry'') {{=}} ''r'' M(''x'',''y'')}}.

Za {{math|M(''x'',''y'')}} obstaja integralska oblika:

: <math> \begin{align}\operatorname{M}(x,y) &= \frac\pi2\bigg/\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}}\\
&=\frac{\pi}{4} (x + y) \bigg/ \operatorname{K}\left( \frac{x - y}{x + y} \right) \!\, , 
\end{align}</math>

kjer je {{math|K(''k'')}} [[eliptični integral|popolni eliptični integral 1. vrste]]:

: <math> \operatorname{K}(k) = \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2(\theta)}} \!\, . </math>

Ker proces aritmetično-geometrične sredine konvergira tako hitro, prek te formule zagotavlja učinkovit način računanja eliptičnih integralov. V tehniki se na primer uporablja pri načrtovanju [[eliptični filter|eliptičnih filtrov]].<ref name="Dimopoulos2011">{{sktxt|Dimopoulos|2011|pp=147–155}}.</ref>

V [[programi za simbolno računanje|programu za simbolno računanje]] [[Maple]] je aritmetično-geometrična sredina določena z <code>GaussAGM(a, b)</code>, v programu [[Mathematica]] pa z <code> ArithmeticGeometricMean[a, b]</code>.

== Sorodni koncepti ==

[[recipročna vrednost|Obratna vrednost]] aritmetično-geometrične sredine števila [[1 (število)|1]] in [[kvadratni koren števila 2|kvadratnega korena iz 2]] je [[Gaussova konstanta]]:

: <math> \frac{1}{\operatorname{M}(1, \sqrt{2})} = G = 0,8346268416740731862814297327990468 \ldots \!\, </math>

Na podobni način se lahko izračuna [[geometrično-harmonična sredina]] z zaporedjema geometrične in [[harmonična sredina|harmonične sredine]]. Tudi aritmetično-harmonična sredina se lahko podobno definira, zavzame pa enake vrednosti kot geometrična sredina.

Modificirano aritmetično-geometrično sredino je vpeljal in definiral Semjon Adlaj na strani 1094 izvoda ''Notices of the AMS'' septembra 2012.<ref>{{sktxt|Adlaj|2012}}.</ref> Izkazala se je za uporabno pri računanju popolnih eliptičnih integralov 2. vrste.

== Glej tudi ==

* [[posplošena sredina]]
* [[neenakost aritmetičnih in geometričnih sredin]]
* [[Gauss-Legendrov algoritem]]

== Sklici ==

{{sklici|2}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Adlaj|first1= Semjon|title= An eloquent formula for the perimeter of an ellipse|journal= Notices of the AMS|year= 2012|volume= 59|issue=8|pages= 1094–1099|ref= harv}}
* {{citat|editor1= J. L. Berggren|editor2= Jonathan M. Borwein|editor3= Peter Borwein|title= Pi: A Source Book|url= http://books.google.com/books?id=QlbzjN_5pDoC&pg=PA481|year= 2004|publisher= Springer|isbn= 978-0-387-20571-7|chapter= The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss|last1= Cox|first1= David A.|ref= harv}} prvič objavljeno v ''[[L'Enseignement Mathématique]]'', t. 30 (1984), str. 275-330
* {{citat|last1= Dimopoulos|first1= Hercules G.|title= Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis|url= http://books.google.com/books?id=6W1eX4QwtyYC&pg=PA147|year= 2011|publisher= Springer|isbn= 978-94-007-2189-0|ref= harv}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=Arithmetic-GeometricMean|title=Arithmetic-Geometric Mean}}
* [http://arithmeticgeometricmean.blogspot.de/ Kalkulator aritmetično-geometrične sredine] {{ikona en}}
* [http://planetmath.org/convergenceofarithmeticgeometricmean/ Dokaz stopnje konvergence] na [[PlanetMath]] {{ikona en}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Srednje vrednosti]]
[[Kategorija:Specialne funkcije]]
[[Kategorija:Eliptične funkcije]]